Квадра́тне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду:
- де ,
де x є невідомою змінною, а a, b, і c є сталими відомими числами, такими що a не дорівнює нулю 0. Якщо a = 0, тоді рівняння буде лінійним, а не квадратним рівнянням. Числа a, b, і c є коефіцієнтами рівняння, і аби розрізнити їх можна називати відповідно, квадратичним коефіцієнтом, лінійний коефіцієнтом і вільною сталою.
Квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою процедури розкладання на множники, методу виділення квадрата, за допомогою побудови графіка функції, або з використанням наступної формули, що є загальним розв'язком цього рівняння:
Рішення задачі, еквівалентної квадратному рівнянню були відомі ще в 2000 році до нашої ери.
Перші згадки
- Стародавній Вавилон
Уже в другому тисячолітті до нашої ери вавилоняни знали, як розв'язувати квадратні рівняння. Розв'язання їх в Стародавньому Вавилоні було тісно пов'язане з практичними завданнями, в основному такими, як обчислення площі земельних ділянок, земельні роботи, пов'язані з військовими потребами; наявність цих знань також обумовлена розвитком математики та астрономії взагалі. Були відомі способи розв'язання як повних, так і неповних квадратних рівнянь.
Наведемо приклад квадратного рівняння, які розв'язувалися в Стародавньому Вавилоні, використовуючи сучасний алгебраїчний запис:
Правила розв'язування квадратних рівнянь багато в чому аналогічні сучасним, проте в вавилонських текстах не зафіксовано міркування, шляхом яких ці правила були отримані.
Загальні відомості
Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа — його коефіцієнти, при чому
також називається першим коефіцієнтом,
— другим,
— вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має
- або два різних дійсних корені,
- або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),
- або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.
(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними. Вони позначаються як та
або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то
В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення:
і
.)
Неповні квадратні рівняння
Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо , то
перетворюється у лінійне рівняння
. Якщо хоч один коефіцієнт
або
дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним.
Розв'язування неповних квадратних рівнянь
рівносильне рівнянню
і тому завжди має тільки один корінь
.
розв'язується винесенням за дужки
:
. Таке рівняння має два корені:
рівносильне рівнянню
. Якщо
, воно має два дійсних розв'язки, якщо
— жодного дійсного.
Зведені квадратні рівняння
Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці . Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на
:
Повне квадратне рівняння
Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів не дорівнює нулю.
Виділення квадрату
Для зведеного квадратного рівняння
використаємо формулу скороченого множення про квадрат суми, щоб позбутись доданка з першим степенем:
Дискримінант
Оскільки то кількість коренів залежить тільки від знаку чисельника правої частини
який називають дискриміна́нтом (лат. diskriminans — розрізняючий), та позначають латинською літерою .
Формула
Якщо , то квадратне рівняння рівносильне рівнянню
, звідки
або
У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед . Коротко ці корені записують так:
, де
Якщо , то
, звідки
— єдиний корінь (точніше — два однакові корені)
У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:
Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:
де :
- Приклад:
- У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед
Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння і позначимо
через
а
через
Тоді воно матиме такий вигляд:
отже за теоремою Вієта:
Доведення
Якщо рівняння має корені
і
то їх можна знаходити за формулами:
і
При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:
Теорема обернена до теореми Вієта
Якщо сума і добуток чисел і
дорівнюють відповідно
і
, то
і
— корені рівняння
Використання теореми Вієта та оберненої до неї
Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:
Щоб звести рівняння поділимо його на 2 (незведене рівняння матиме такі ж корені, як і зведене)
Оскільки 7 (вільний член) — це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара — −7 і −1. Отже:
Інші методи розв'язування
Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в пригоді у деяких окремих випадках. Так, наприклад, формулу
зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.
Також поширеною є формула
але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при . Тобто у випадку відсутності вільного члена з її допомогою не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:
де — sign-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).
Аналітична геометрія
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlk0TDFCdmJIbHViMjFwWVd4a1pXY3lMbk4yWnk4eU1EQndlQzFRYjJ4NWJtOXRhV0ZzWkdWbk1pNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Корені рівняння
є також нулями функції
В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли , графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.
Факторизація
Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою:
, де
— корені цього рівняння.
Доповнення до квадрата
В процесі доповнення до квадрата використовують алгебраїчне рівняння
яке визначає чітко визначений алгоритм, який можна використати для розв'язку квадратного рівняння. Розпочнемо із квадратного рівняння наступної форми, ax2 + bx + c = 0
- Розділимо кожну його частину на a, коефіцієнт при квадратному члені рівняння.
- Віднімемо сталу c/a з обох частин рівняння.
- Додайте квадрат половини значення b/a, коефіцієнта при x, до обох частин рівняння. Це «доповнює квадрат», перетворюючи ліву частину у ідеальний квадрат.
- Перепишіть ліву частину у вигляді квадрата і спростіть праву частину при необхідності.
- Отримаємо два лінійні рівняння прирівнявши квадратний корінь у лівій частині із додатнім і від'ємним квадратним коренями правої частини.
- Знайдемо розв'язок двох лінійних рівнянь.
Наведемо приклад роботи алгоритма, розв'язавши рівняння 2x2 + 4x − 4 = 0
Подвійний знак плюс-мінус «±» означає, що обидва варіанти x = −1 + √3 і x = −1 − √3 є розв'язками квадратного рівняння.
Рівняння, що зводяться до квадратних
До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду , зробивши заміну
. Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:
Зробимо заміну :
Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):
Маючи значення легко знайти корені початкового рівняння:
Приклади і застосування
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk5tTDB4aFgwcHZiR3hoWDBOdmRtVmZZMnhwWm1aZlpHbDJhVzVuWHkxZk1ESXVhbkJuTHpJeU1IQjRMVXhoWDBwdmJHeGhYME52ZG1WZlkyeHBabVpmWkdsMmFXNW5YeTFmTURJdWFuQm4uanBn.jpg)
Золотий перетин можна знайти як додатній розв'язок квадратного рівняння .
Рівняння кола і інших конічних перетинів — еліпса, параболи, і гіперболи — є квадратними рівняннями двох змінних.
При відомому косинусі або синусі кута, знайти косинус або синус половини цього кута можна за допомогою вирішення квадратного рівняння.
Теорема Декарта стверджує, що для будь-яких чотирьох взаємно дотичних кіл, їх радіуси задовольнятимуть певному квадратному рівнянню.
(Теоремою Фаусса) визначається рівняння, яке задає співвідношення між радіусом кола вписаного в біцентричний чотирикутник і радіусом описаного кола та відстанню між центрами цих кіл. Рівняння можна представити у вигляді квадратного рівняння, в якому розв'язком буде відстань між двома центрами кіл із заданими радіусами. Іншим розв'язком того ж рівняння, при відповідних радіусах дасть відстань між центрами описаного кола і зовнішнього кола зовні-описаного чотирикутника.
Історія
- Стародавня Греція
У стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язування повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.
- Індія
Завдання, які розв'язувалися за допомогою квадратних рівнянь, зустрічаються в трактаті з астрономії «Аріабхаттіам», написаним індійським астрономом і математиком Аріабхатою І в 499 році нашої ери. Один з перших відомих висновків формули коренів квадратного рівняння належить індійському вченому Брамагупті (близько 598 р.) [1]; Брамагупта виклав універсальне правило розв'язування квадратного рівняння, зведеного до канонічного вигляду: причому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім
, можуть бути від'ємними. Сформульоване вченим правило по своїй суті збігається з сучасним.
Аль-Хорезмі описав алгоритм знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння.
- Європа
Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виведенням формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.
Див. також
Примітки
- Protters & Morrey: « Calculus and Analytic Geometry. First Course»
- Washington, Allyn J. (2000). Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition. Addison Wesley Longman, Inc. ISBN .
- Sterling, Mary Jane (2010), , Wiley Publishing, с. 219, ISBN , архів оригіналу за 8 Лютого 2021, процитовано 14 Липня 2018
Література
- Administrator. . shkolyar.in.ua (uk-ua) . Архів оригіналу за 15 Лютого 2017. Процитовано 14 лютого 2017.
Посилання
- Дискримінант // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (березень 2017) |
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kvadra tne rivnya nnya algebrayichne rivnyannya vidu a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 de a 0 displaystyle a neq 0 de x ye nevidomoyu zminnoyu a a b i c ye stalimi vidomimi chislami takimi sho a ne dorivnyuye nulyu 0 Yaksho a 0 todi rivnyannya bude linijnim a ne kvadratnim rivnyannyam Chisla a b i c ye koeficiyentami rivnyannya i abi rozrizniti yih mozhna nazivati vidpovidno kvadratichnim koeficiyentom linijnij koeficiyentom i vilnoyu staloyu Kvadratne rivnyannya mozhna rozv yazati za dopomogoyu proceduri rozkladannya na mnozhniki metodu vidilennya kvadrata za dopomogoyu pobudovi grafika funkciyi abo z vikoristannyam nastupnoyi formuli sho ye zagalnim rozv yazkom cogo rivnyannya x 1 2 b b 2 4 a c 2 a displaystyle x 1 2 frac b pm sqrt b 2 4ac 2a Rishennya zadachi ekvivalentnoyi kvadratnomu rivnyannyu buli vidomi she v 2000 roci do nashoyi eri Pershi zgadkiStarodavnij Vavilon Uzhe v drugomu tisyacholitti do nashoyi eri vavilonyani znali yak rozv yazuvati kvadratni rivnyannya Rozv yazannya yih v Starodavnomu Vaviloni bulo tisno pov yazane z praktichnimi zavdannyami v osnovnomu takimi yak obchislennya ploshi zemelnih dilyanok zemelni roboti pov yazani z vijskovimi potrebami nayavnist cih znan takozh obumovlena rozvitkom matematiki ta astronomiyi vzagali Buli vidomi sposobi rozv yazannya yak povnih tak i nepovnih kvadratnih rivnyan Navedemo priklad kvadratnogo rivnyannya yaki rozv yazuvalisya v Starodavnomu Vaviloni vikoristovuyuchi suchasnij algebrayichnij zapis x 2 x 3 4 displaystyle x 2 x 3 4 Pravila rozv yazuvannya kvadratnih rivnyan bagato v chomu analogichni suchasnim prote v vavilonskih tekstah ne zafiksovano mirkuvannya shlyahom yakih ci pravila buli otrimani Zagalni vidomostiKvadratni rivnyannya ye riznovidom rivnyan drugogo stepenya z odniyeyu zminnoyu Chisla a b c displaystyle a b c jogo koeficiyenti pri chomu a displaystyle a takozh nazivayetsya pershim koeficiyentom b displaystyle b drugim c displaystyle c vilnim chlenom Bud yake kvadratne rivnyannya maye abo dva riznih dijsnih koreni abo dva odnakovi dijsnih koreni tobto po suti odin abo vzagali ne maye dijsnih koreniv a maye dva kompleksni koreni Zazvichaj koli kazhut sho koreniv nemaye to mayetsya na uvazi sho nemaye dijsnih koreniv v takomu razi obidva koreni ye kompleksnimi Voni poznachayutsya yak x 1 displaystyle x 1 ta x 2 displaystyle x 2 abo yaksho jdetsya pro obidva koreni odnochasno to x 1 2 displaystyle x 1 2 V deyakij literaturi zustrichayetsya she j take poznachennya x displaystyle x i x displaystyle x Nepovni kvadratni rivnyannyaZgidno z oznachennyam pershij koeficiyent kvadratnogo rivnyannya ne mozhe dorivnyuvati nulyu yaksho a 0 displaystyle a 0 to a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 peretvoryuyetsya u linijne rivnyannya b x c 0 displaystyle bx c 0 Yaksho hoch odin koeficiyent b displaystyle b abo c displaystyle c dorivnyuye nulyu to kvadratne rivnyannya nazivayetsya nepo vnim Rozv yazuvannya nepovnih kvadratnih rivnyan a x 2 0 displaystyle ax 2 0 rivnosilne rivnyannyu x 2 0 displaystyle x 2 0 i tomu zavzhdi maye tilki odin korin x 0 displaystyle x 0 a x 2 b x 0 displaystyle ax 2 bx 0 rozv yazuyetsya vinesennyam za duzhki x displaystyle x x a x b 0 displaystyle x ax b 0 Take rivnyannya maye dva koreni x 1 0 x 2 b a displaystyle x 1 0 x 2 b a a x 2 c 0 displaystyle ax 2 c 0 rivnosilne rivnyannyu x 2 c a displaystyle x 2 c a Yaksho c a gt 0 displaystyle c a gt 0 vono maye dva dijsnih rozv yazki yaksho c a lt 0 displaystyle c a lt 0 zhodnogo dijsnogo Zvedeni kvadratni rivnyannyaZvedenimi nazivayutsya taki kvadratni rivnyannya u yakih pershij koeficiyent dorivnyuye odinici a 1 displaystyle a 1 Bud yake kvadratne rivnyannya mozhna peretvoriti u zvedene inshimi slovami zvesti jogo Dlya cogo treba obidvi chastini rivnyannya podiliti na a displaystyle a x 2 b a x c a 0 displaystyle x 2 frac b a x frac c a 0 Povne kvadratne rivnyannyaPovnim nazivayetsya take kvadratne rivnyannya u yakomu zhodnij z koeficiyentiv a b c displaystyle a b c ne dorivnyuye nulyu Vidilennya kvadratu Dokladnishe Vidilennya kvadratu Dlya zvedenogo kvadratnogo rivnyannya x 2 b a x c a 0 displaystyle x 2 frac b a x frac c a 0 vikoristayemo formulu skorochenogo mnozhennya pro kvadrat sumi shob pozbutis dodanka z pershim stepenem x b 2 a 2 b 2 4 a c 4 a 2 displaystyle left x frac b 2a right 2 frac b 2 4ac 4a 2 Diskriminant Dokladnishe Diskriminant Oskilki 4 a 2 gt 0 displaystyle 4a 2 gt 0 to kilkist koreniv zalezhit tilki vid znaku chiselnika pravoyi chastini D b 2 4 a c displaystyle D b 2 4ac yakij nazivayut diskrimina ntom lat diskriminans rozriznyayuchij ta poznachayut latinskoyu literoyu D displaystyle D Formula Yaksho D gt 0 displaystyle D gt 0 to kvadratne rivnyannya rivnosilne rivnyannyu 2 a x b 2 D 2 displaystyle 2ax b 2 left sqrt D right 2 zvidki 2 a x b D x b D 2 a displaystyle 2ax b sqrt D qquad x frac b sqrt D 2a abo 2 a x b D x b D 2 a displaystyle 2ax b sqrt D qquad x frac b sqrt D 2a U comu vipadku dane rivnyannya maye dva koreni yaki vidriznyayutsya lishe znakom pered D displaystyle sqrt D Korotko ci koreni zapisuyut tak x 1 2 b D 2 a displaystyle x 1 2 frac b pm sqrt D 2a de D b 2 4 a c 1 displaystyle D b 2 4ac qquad 1 Yaksho D 0 displaystyle D 0 to 2 a x b 0 displaystyle 2ax b 0 zvidki x b 2 a displaystyle x frac b 2a yedinij korin tochnishe dva odnakovi koreni U vipadku yaksho diskriminant menshij za nul to dane rivnyannya ne maye dijsnih koreniv Ale pri comu ye mozhlivist znajti dva kompleksnih koreni za formuloyu 1 abo skoristavshis nastupnoyu formuloyu shob ne dobuvati korin z vid yemnogo chisla x 1 2 b i b 2 4 a c 2 a displaystyle x 1 2 frac b pm i cdot sqrt b 2 4ac 2a Yaksho koeficiyenti v rivnyanni mayut veliki chislovi znachennya dlya uniknennya dovgih rozrahunkiv mozhna skoristatisya formuloyu x 1 2 k k 2 a c a displaystyle x 1 2 frac k pm sqrt k 2 ac a de k b 2 displaystyle k frac b 2 Priklad 2 x 2 3 x 5 0 displaystyle 2x 2 3x 5 0 a 2 displaystyle a 2 b 3 displaystyle b 3 c 5 displaystyle c 5 D 3 2 4 2 5 9 40 49 7 2 displaystyle D 3 2 4 cdot 2 cdot 5 9 40 49 7 2 U comu vipadku dane rivnyannya maye dva koreni yaki vidriznyayutsya lishe znakom pered D displaystyle sqrt D x 1 3 7 4 2 5 displaystyle x 1 frac 3 7 4 2 5 x 2 3 7 4 1 displaystyle x 2 frac 3 7 4 1 Teorema ViyetaYaksho zvedene kvadratne rivnyannya maye dva koreni to yih suma dorivnyuye drugomu koeficiyentovi rivnyannya vzyatomu z protilezhnim znakom a dobutok vilnomu chlenu Dlya prikladu vizmemo zvedene rivnyannya x 2 b a x c a 0 displaystyle x 2 frac b a x frac c a 0 i poznachimo b a displaystyle frac b a cherez p displaystyle p a c a displaystyle frac c a cherez q displaystyle q Todi vono matime takij viglyad x 2 p x q 0 displaystyle x 2 px q 0 otzhe za teoremoyu Viyeta x 1 x 2 p displaystyle x 1 x 2 p x 1 x 2 q displaystyle x 1 cdot x 2 q Dovedennya Yaksho rivnyannya x 2 p x q 0 displaystyle x 2 px q 0 maye koreni x 1 displaystyle x 1 i x 2 displaystyle x 2 to yih mozhna znahoditi za formulami x 1 p p 2 4 q 2 displaystyle x 1 frac p sqrt p 2 4q 2 i x 2 p p 2 4 q 2 displaystyle x 2 frac p sqrt p 2 4q 2 Pri dodavanni ta mnozhenni koreniv otrimuyemo vidpovidno x 1 x 2 p p 2 4 q 2 p p 2 4 q 2 p displaystyle x 1 x 2 frac p sqrt p 2 4q 2 frac p sqrt p 2 4q 2 p x 1 x 2 p p 2 4 q 2 p p 2 4 q 2 q displaystyle x 1 cdot x 2 frac p sqrt p 2 4q 2 frac p sqrt p 2 4q 2 q Teorema obernena do teoremi Viyeta Yaksho suma i dobutok chisel m displaystyle m i n displaystyle n dorivnyuyut vidpovidno p displaystyle p i q displaystyle q to m displaystyle m i n displaystyle n koreni rivnyannya x 2 p x q 0 displaystyle x 2 px q 0 Vikoristannya teoremi Viyeta ta obernenoyi do neyi Vikoristovuyuchi teoremu Viyeta mozhna pereviryati pravilnist rozv yazannya kvadratnih rivnyan A koristuyuchis obernenoyu teoremoyu mozhna navit usno rozv yazuvati bilshist zvedenih rivnyan Dlya prikladu rozv yazhemo take rivnyannya 2 x 2 16 x 14 0 displaystyle 2x 2 16x 14 0 Shob zvesti rivnyannya podilimo jogo na 2 nezvedene rivnyannya matime taki zh koreni yak i zvedene x 2 8 x 7 0 displaystyle x 2 8x 7 0 Oskilki 7 vilnij chlen ce dobutok koreniv rivnyannya to korenyami maye buti para chisel 7 ta 1 abo 7 ta 1 Tak yak suma koreniv dorivnyuye 8 drugij koeficiyent z protilezhnim znakom to shukana para 7 i 1 Otzhe x 1 7 x 2 1 displaystyle x 1 7 quad x 2 1 Inshi metodi rozv yazuvannyaDlya znahodzhennya koreniv isnuyut formuli yaki mozhut stati v prigodi u deyakih okremih vipadkah Tak napriklad formulu x 1 2 p 2 p 2 2 q displaystyle x 1 2 frac p 2 pm sqrt left frac p 2 right 2 q zruchno vikoristovuvati pri parnomu p Yiyi perevaga polyagaye v nepotribnosti okremogo znahodzhennya diskriminanta sho znachno sproshuye neobhidni obchislennya Takozh poshirenoyu ye formula x 1 2 2 c b b 2 4 a c 2 displaystyle x 1 2 frac 2c b pm sqrt b 2 4ac qquad 2 ale suttyevim yiyi nedolikom ye nemozhlivist otrimati dva koreni pri c 0 displaystyle c 0 Tobto u vipadku vidsutnosti vilnogo chlena z yiyi dopomogoyu ne vdastsya dobuti drugij korin pershij dorivnyuvatime nulyu Cyu problemu mozhna virishiti vikoristovuyuchi zmishanij viglyad vishezaznachenoyi formuli x 1 b sgn b b 2 4 a c 2 a displaystyle x 1 frac b operatorname sgn b sqrt b 2 4ac 2a x 2 c a x 1 displaystyle x 2 frac c ax 1 de sgn b displaystyle operatorname sgn b sign funkciya Cej sposib rozv yazuvannya rivnyan desho prostishij za zvichajnij metod i pozbavlenij nedoliku formuli 2 Analitichna geometriya Grafik funkciyi y x2 x 2 peretinaye vis abscis u tochkah z koordinatami sho dorivnyuyut korenyam rivnyannya x2 x 2 0 Koreni rivnyannya a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 ye takozh nulyami funkciyi f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c V tochkah peretinu yiyi grafika z vissyu abscis znachennya x koordinati dorivnyuvatime korenyam rivnyannya U vipadku koli diskriminant cogo rivnyannya bilshij nulya grafik peretinayetsya z vissyu u dvoh tochkah koli D 0 displaystyle D 0 grafik dotikayetsya do neyi v odnij tochci yaksho zh diskriminant menshij za nul grafik ne peretinaye vis Ox vzagali Faktorizaciya Div takozh Faktorizaciya mnogochleniv Liva chastina kvadratnogo rivnyannya yaka takozh nazivayetsya kvadratnim trichlenom mozhe buti rozkladena na mnozhniki za takoyu formuloyu a x 2 b x c a x x 1 x x 2 displaystyle ax 2 bx c a x x 1 x x 2 de x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 koreni cogo rivnyannya Dopovnennya do kvadrata V procesi dopovnennya do kvadrata vikoristovuyut algebrayichne rivnyannya x 2 2 h x h 2 x h 2 displaystyle x 2 2hx h 2 x h 2 yake viznachaye chitko viznachenij algoritm yakij mozhna vikoristati dlya rozv yazku kvadratnogo rivnyannya Rozpochnemo iz kvadratnogo rivnyannya nastupnoyi formi ax2 bx c 0 Rozdilimo kozhnu jogo chastinu na a koeficiyent pri kvadratnomu chleni rivnyannya Vidnimemo stalu c a z oboh chastin rivnyannya Dodajte kvadrat polovini znachennya b a koeficiyenta pri x do oboh chastin rivnyannya Ce dopovnyuye kvadrat peretvoryuyuchi livu chastinu u idealnij kvadrat Perepishit livu chastinu u viglyadi kvadrata i sprostit pravu chastinu pri neobhidnosti Otrimayemo dva linijni rivnyannya pririvnyavshi kvadratnij korin u livij chastini iz dodatnim i vid yemnim kvadratnim korenyami pravoyi chastini Znajdemo rozv yazok dvoh linijnih rivnyan Navedemo priklad roboti algoritma rozv yazavshi rivnyannya 2x2 4x 4 0 1 x 2 2 x 2 0 displaystyle 1 x 2 2x 2 0 2 x 2 2 x 2 displaystyle 2 x 2 2x 2 3 x 2 2 x 1 2 1 displaystyle 3 x 2 2x 1 2 1 4 x 1 2 3 displaystyle 4 left x 1 right 2 3 5 x 1 3 displaystyle 5 x 1 pm sqrt 3 6 x 1 3 displaystyle 6 x 1 pm sqrt 3 Podvijnij znak plyus minus oznachaye sho obidva varianti x 1 3 i x 1 3 ye rozv yazkami kvadratnogo rivnyannya Rivnyannya sho zvodyatsya do kvadratnihDo kvadratnih mozhna zvesti bikvadratne a takozh bud yake rivnyannya vidu a x 2 n b x n c 0 displaystyle ax 2n bx n c 0 zrobivshi zaminu t x n displaystyle t x n Dlya prikladu rozv yazhemo nastupne rivnyannya 3 x 6 21 x 3 30 0 displaystyle 3x 6 21x 3 30 0 Zrobimo zaminu t x 3 displaystyle t x 3 3 t 2 21 t 30 0 displaystyle 3t 2 21t 30 0 Ce zvichajne kvadratne rivnyannya koreni yakogo znajdemo za formuloyu 2 t 1 2 30 21 21 2 4 3 30 60 21 441 360 60 30 2 displaystyle t 1 frac 2 cdot 30 21 sqrt 21 2 4 cdot 3 cdot 30 frac 60 21 sqrt 441 360 frac 60 30 2 t 2 2 30 21 21 2 4 3 30 60 21 441 360 60 12 5 displaystyle t 2 frac 2 cdot 30 21 sqrt 21 2 4 cdot 3 cdot 30 frac 60 21 sqrt 441 360 frac 60 12 5 Mayuchi znachennya t displaystyle t legko znajti koreni pochatkovogo rivnyannya x 1 t 1 3 2 3 displaystyle x 1 sqrt 3 t 1 sqrt 3 2 x 2 t 2 3 5 3 displaystyle x 2 sqrt 3 t 2 sqrt 3 5 Prikladi i zastosuvannyaTrayektoriya polotu pri stribanni z kruchi u vodu parabolichna oskilki gorizontalne peremishennya ye linijnoyu funkciyeyu vid chasu x v x t displaystyle x v x t a vertikalne peremishennya ye kvadratichnoyu funkciyeyu vid chasu y 1 2 a t 2 v y t h displaystyle y tfrac 1 2 at 2 v y t h V rezultati shlyah bude zadavatisya kvadratnim rivnyannyam y a 2 v x 2 x 2 v y v x x h displaystyle y tfrac a 2v x 2 x 2 tfrac v y v x x h de v x displaystyle v x i v y displaystyle v y gorizontalna i vertikalna komponenti pochatkovoyi shvidkosti a ye gravitacijnim priskorennyam a h ye pochatkovoyu visotoyu Znachennya a slid zadavati vid yemnim oskilki napryam padinnya vniz ye protilezhnim do vimiryuvannya visoti vgoru Zolotij peretin mozhna znajti yak dodatnij rozv yazok kvadratnogo rivnyannya x 2 x 1 0 displaystyle x 2 x 1 0 Rivnyannya kola i inshih konichnih peretiniv elipsa paraboli i giperboli ye kvadratnimi rivnyannyami dvoh zminnih Pri vidomomu kosinusi abo sinusi kuta znajti kosinus abo sinus polovini cogo kuta mozhna za dopomogoyu virishennya kvadratnogo rivnyannya Teorema Dekarta stverdzhuye sho dlya bud yakih chotiroh vzayemno dotichnih kil yih radiusi zadovolnyatimut pevnomu kvadratnomu rivnyannyu Teoremoyu Faussa viznachayetsya rivnyannya yake zadaye spivvidnoshennya mizh radiusom kola vpisanogo v bicentrichnij chotirikutnik i radiusom opisanogo kola ta vidstannyu mizh centrami cih kil Rivnyannya mozhna predstaviti u viglyadi kvadratnogo rivnyannya v yakomu rozv yazkom bude vidstan mizh dvoma centrami kil iz zadanimi radiusami Inshim rozv yazkom togo zh rivnyannya pri vidpovidnih radiusah dast vidstan mizh centrami opisanogo kola i zovnishnogo kola zovni opisanogo chotirikutnika IstoriyaStarodavnya Greciya U starodavnij Greciyi kvadratni rivnyannya rozv yazuvalisya za dopomogoyu geometrichnih pobudov Metodi yaki ne pov yazuvalisya z geometriyeyu vpershe navodit Diofant Aleksandrijskij u III st U svoyih knigah Arifmetika vin navodit prikladi rozv yazuvannya nepovnih kvadratnih rivnyan Jogo knigi z opisom sposobiv rozv yazuvannya povnih kvadratnih rivnyan do nashogo chasu ne zbereglisya Indiya Zavdannya yaki rozv yazuvalisya za dopomogoyu kvadratnih rivnyan zustrichayutsya v traktati z astronomiyi Ariabhattiam napisanim indijskim astronomom i matematikom Ariabhatoyu I v 499 roci nashoyi eri Odin z pershih vidomih visnovkiv formuli koreniv kvadratnogo rivnyannya nalezhit indijskomu vchenomu Bramagupti blizko 598 r 1 Bramagupta viklav universalne pravilo rozv yazuvannya kvadratnogo rivnyannya zvedenogo do kanonichnogo viglyadu a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 prichomu peredbachalosya sho v nomu vsi koeficiyenti krim a displaystyle a mozhut buti vid yemnimi Sformulovane vchenim pravilo po svoyij suti zbigayetsya z suchasnim Al Horezmi opisav algoritm znahodzhennya koreniv vsih shesti pidvidiv kvadratnogo rivnyannya Yevropa Zagalne pravilo rozv yazuvannya kvadratnih rivnyan bulo sformovane nimeckim matematikom M Shtifelem 1487 1567 Vivedennyam formuli zagalnogo rozv yazku kvadratnih rivnyan zajmavsya Fransua Viyet Vin zhe j viviv formuli zalezhnosti koreniv rivnyannya vid koeficiyentiv u 1591 roci Pislya prac niderlandskogo matematika A Zhirara 1595 1632 a takozh Dekarta i Nyutona sposib rozv yazuvannya kvadratnih rivnyan nabuv suchasnogo viglyadu Div takozhRivnyannya Kubichne rivnyannya Teorema Viyeta Formuli skorochenogo mnozhennyaPrimitkiProtters amp Morrey Calculus and Analytic Geometry First Course Washington Allyn J 2000 Basic Technical Mathematics with Calculus Seventh Edition Addison Wesley Longman Inc ISBN 0 201 35666 X Sterling Mary Jane 2010 Wiley Publishing s 219 ISBN 978 0 470 55964 2 arhiv originalu za 8 Lyutogo 2021 procitovano 14 Lipnya 2018LiteraturaAdministrator shkolyar in ua uk ua Arhiv originalu za 15 Lyutogo 2017 Procitovano 14 lyutogo 2017 PosilannyaDiskriminant Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno berezen 2017 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi