Гіпоеліптичний оператор — диференціальний оператор у частинних похідних, фундаментальний розв'язок якого належить класу у всіх точках простору, крім початку координат.
Визначення
Нехай — дійсний поліном від змінних
де і .
Узагальнена функція називається фундаментальним розв'язком диференціального оператора , якщо вона є розв'язком рівняння де — дельта-функція Дірака. Оператор називають гіпоеліптичним, якщо належить класу за всіх .
Визначимо відповідний диференціальний оператор:
де
Властивості
Як визначення гіпоеліптичного оператора часто використовують такий критерій гіпоеліптичності:
Теорема 1. Оператор є гіпоеліптичним тоді й лише тоді, коли для будь-якої відкритої ділянки будь-який розв'язок (узагальнена функція) рівняння з будь-якою правою частиною також належить класу |
Також Германдер встановив такий алгебричний критерій гіпоеліптичності:
Теорема 2. Оператор є гіпоеліптичним тоді й лише тоді, коли для всіх де — уявна одиниця. |
Приклади
- Будь-який еліптичний оператор є гіпоеліптичним, наприклад, оператор Лапласа.
- Оператор теплопровідності є гіпоеліптичним, але не еліптичним.
- Оператор д'Аламбера не є гіпоеліптичним.
Примітки
- Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. — Москва : Мир, 1986—1988.
- [ru]. Обобщённые функции в математической физике. — Москва : Наука, 1979.
Література
- Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. — Москва : Мир, 1986—1988.
- [ru]. Обобщённые функции в математической физике. — Москва : НаукаНаука, 1979.
- Ю.В. Егоров, М.А. Шубин. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — Москва : ВИНИТИ, 1988. — Т. 30. — С. 5-255.
- Ж. Трев. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. — Москва, 1965.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Gipoeliptichnij operator diferencialnij operator u chastinnih pohidnih fundamentalnij rozv yazok yakogo nalezhit klasu C displaystyle C infty u vsih tochkah prostoru krim pochatku koordinat ViznachennyaNehaj P 3 displaystyle P xi dijsnij polinom vid zminnih 3 31 3n displaystyle xi xi 1 ldots xi n P 3 a maa3a a maa31a1 3nan displaystyle P xi sum alpha leq m a alpha xi alpha sum alpha leq m a alpha xi 1 alpha 1 cdots xi n alpha n de a a1 an Z n displaystyle alpha alpha 1 ldots alpha n in mathbb Z n i a a1 an displaystyle alpha alpha 1 cdots alpha n Uzagalnena funkciya E x displaystyle mathcal E x nazivayetsya fundamentalnim rozv yazkom diferencialnogo operatora P D displaystyle P D yaksho vona ye rozv yazkom rivnyannya P D E x d x displaystyle P D mathcal E x delta x de d x displaystyle delta x delta funkciya Diraka Operator P D displaystyle P D nazivayut gipoeliptichnim yaksho E x displaystyle mathcal E x nalezhit klasu C displaystyle C infty za vsih x 0 displaystyle x neq 0 P D a maaDa a maa a x1a1 xnan displaystyle P D sum alpha leq m a alpha D alpha sum alpha leq m a alpha frac partial alpha partial x 1 alpha 1 cdots partial x n alpha n Viznachimo vidpovidnij diferencialnij operator D D1 Dn Dj xj j 1 n displaystyle D D 1 ldots D n quad D j frac partial partial x j quad j 1 ldots n deVlastivostiYak viznachennya gipoeliptichnogo operatora chasto vikoristovuyut takij kriterij gipoeliptichnosti Teorema 1 Operator P D displaystyle P D ye gipoeliptichnim todi j lishe todi koli dlya bud yakoyi vidkritoyi dilyanki U Rn displaystyle U subset mathbb R n bud yakij rozv yazok u x displaystyle u x uzagalnena funkciya rivnyannya P D u x f x x U displaystyle P D u x f x quad x in U z bud yakoyu pravoyu chastinoyu f C U displaystyle f in C infty U takozh nalezhit klasu u C U displaystyle u in C infty U Takozh Germander vstanoviv takij algebrichnij kriterij gipoeliptichnosti Teorema 2 Operator P D displaystyle P D ye gipoeliptichnim todi j lishe todi koli P k i3 P i3 0 3 displaystyle frac P k i xi P i xi to 0 quad xi to infty dlya vsih k k1 kn Z n k 1 displaystyle k k 1 ldots k n in mathbb Z n k geq 1 de i displaystyle i uyavna odinicya PrikladiBud yakij eliptichnij operator ye gipoeliptichnim napriklad operator Laplasa Operator teploprovidnosti ye gipoeliptichnim ale ne eliptichnim Operator d Alambera ne ye gipoeliptichnim PrimitkiHyormander L Analiz linejnyh differencialnyh operatorov s chastnymi proizvodnymi Moskva Mir 1986 1988 ru Obobshyonnye funkcii v matematicheskoj fizike Moskva Nauka 1979 LiteraturaHyormander L Analiz linejnyh differencialnyh operatorov s chastnymi proizvodnymi Moskva Mir 1986 1988 ru Obobshyonnye funkcii v matematicheskoj fizike Moskva NaukaNauka 1979 Yu V Egorov M A Shubin Linejnye differencialnye uravneniya s chastnymi proizvodnymi Osnovy klassicheskoj teorii Itogi nauki i tehn Ser Sovrem probl mat Fundam napravleniya Moskva VINITI 1988 T 30 S 5 255 Zh Trev Lekcii po linejnym uravneniyam v chastnyh proizvodnyh s postoyannymi koefficientami Moskva 1965