Гіперболічний рух (теорія відносності)

Гіперболічний рух — це рух об'єкта з постійним Власне прискорення в спеціальній теорії відносності. Його називають гіперболічним рухом, тому що рівняння, що описує траєкторію об'єкта в просторі-часі, є гіперболою, як це можна побачити, якщо побудувати графік на діаграмі Мінковського, координати якої представляють відповідну інерціальну (неприскорену) систему. Цей рух має кілька цікавих особливостей, зокрема, той факт, що фотон можна випередити, якщо мати достатню перевагу на старті, як це можна побачити на діаграми.

Гіперболічний рух можна відобразити на діаграмі Мінковського, де рух прискорюваної частинки відбувається вздовж осі ${\displaystyle X}$. Кожна гіпербола визначається виразами ${\displaystyle x=\pm c^{2}/\alpha }$ і ${\displaystyle \eta =\alpha \tau /c}$ (де${\displaystyle c=1,\alpha =1}$) у рівнянні (2).

Історія

Герман Мінковський (1908) показав зв'язок між точкою на світовій лінії та величиною 4-прискорення та «гіперболи викривлення» (нім. Krümmungshyperbel). У контексті ^[en], Макс Борн (1909) згодом ввів термін «гіперболічний рух» (нім. Hyperbelbewegung) для випадку постійної величини 4-прискорення, і потім надав детальний опис заряджених частинок у гіперболічному русі та ввів відповідну «гіперболічно прискорену систему відліку» (нім. hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem). Формули Борна були спрощені та розширені Арнольдом Зоммерфельдом (1910). З першими оглядами можна ознайомитись у підручниках Макса фон Лауе (1911, 1921) або Вольфганга Паулі (1921). Див. також Galeriu (2015) або Gourgoulhon (2013), і розділ «Історія статті» ^[en].

Світова лінія

Власне прискорення ${\displaystyle \alpha }$ частинки визначається як прискорення, яке «відчуває» частинка, коли вона прискорюється від однієї інерціальної системи відліку до іншої. Якщо власне прискорення спрямоване паралельно лінії руху, воно пов'язане зі звичайним 3-прискоренням ^[en] ${\displaystyle a=du/dT}$ формулою

${\displaystyle \alpha =\gamma ^{3}a={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2}}}{\frac {du}{dT}},}$

де ${\displaystyle u}$ — миттєва швидкість частинки, ${\displaystyle \gamma }$ — фактор Лоренца, ${\displaystyle c}$ — це швидкість світла, а ${\displaystyle T}$ — координатний час. Розв'язання рівняння руху дає шукані формули, які можна виразити через координатний час ${\displaystyle T}$ а також власний час ${\displaystyle \tau }$. Для спрощення всі початкові значення часу, місця та швидкості можна встановити рівними 0, таким чином:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}u(T)&={\frac {\alpha T}{\sqrt {1+\left({\frac {\alpha T}{c}}\right)^{2}}}}\\&=c\tanh \left(\operatorname {arsinh} {\frac {\alpha T}{c}}\right)\\X(T)&={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha T}{c}}\right)^{2}}}-1\right)\\&={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh \left(\operatorname {arsinh} {\frac {\alpha T}{c}}\right)-1\right)\\c\tau (T)&={\frac {c^{2}}{\alpha }}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha T}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {\alpha T}{c}}\right)\\&={\frac {c^{2}}{\alpha }}\operatorname {arsinh} {\frac {\alpha T}{c}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}u(\tau )&=c\tanh {\frac {\alpha \tau }{c}}\\\\X(\tau )&={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right)\\\\cT(\tau )&={\frac {c^{2}}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}}\\\\\\\end{aligned}}\end{array}}}$

(1)

Це призводить до рівняння ${\displaystyle \left(X+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}T^{2}=c^{4}/\alpha ^{2}}$, що є гіперболою в часі T і змінною простору ${\displaystyle X}$. У цьому випадку прискорений об'єкт знаходиться на ${\displaystyle X=0}$ у момент часу ${\displaystyle T=0}$. Якщо натомість є початкові значення, відмінні від нуля, формули для гіперболічного руху приймають наступний вигляд:

${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}u(T)&={\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{\sqrt {1+\left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)^{2}}}}\quad \\&=c\tanh \left\{\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)\right\}\\X(T)&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)^{2}}}-\gamma _{0}\right)\\&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\cosh \left[\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)\right]-\gamma _{0}\right\}\\c\tau (T)&=c\tau _{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\ln \left({\frac {{\sqrt {c^{2}+\left(u_{0}\gamma _{0}+\alpha T\right){}^{2}}}+u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{\left(c+u_{0}\right)\gamma _{0}}}\right)\\&=c\tau _{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)-\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)\right\}\end{aligned}}&{\begin{aligned}u(\tau )&=c\tanh \left\{\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right\}\\\\X(\tau )&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\cosh \left[\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right]-\gamma _{0}\right\}\\\\cT(\tau )&=cT_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\sinh \left[\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right]-{\frac {u_{0}\gamma _{0}}{c}}\right\}\end{aligned}}\end{array}}}}$

Стрімкість

Світову лінію для гіперболічного руху (яку відтепер будемо записувати як функцію власного часу) можна спростити кількома способами. Наприклад, вираз

${\displaystyle X={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right)}$

може бути піддано просторовому зсуву на ${\displaystyle c^{2}/\alpha }$, таким чином отримуємо

${\displaystyle X={\frac {c^{2}}{\alpha }}\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}}$,

у відповідності до чого спостерігач знаходиться в точці ${\displaystyle X=c^{2}/\alpha }$ в момент часу ${\displaystyle T=0}$. Крім того, задавши ${\displaystyle x=c^{2}/\alpha }$ і вводячи стрімкість ${\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} {\frac {u}{c}}={\frac {\alpha \tau }{c}}}$, рівняння гіперболічного руху зводяться до

${\displaystyle cT=x\sinh \eta ,\quad X=x\cosh \eta }$

(2)

з гіперболою ${\displaystyle X^{2}-c^{2}T^{2}=x^{2}}$.

Заряджені частинки в гіперболічному русі

Борн (1909), Зоммерфельд (1910), фон Лауе (1911), Паулі (1921) також сформулювали рівняння для електромагнітного поля заряджених частинок у гіперболічному русі. Це рівння було розширено Германом Бонді і Томасом Голдом (1955), а також Фултоном і Рорліхом (1960):

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\rho '}'=&{\frac {\left(8e/\alpha ^{2}\right)\rho 'z'}{\xi ^{\prime 3}}}\\E_{z'}'=&{\frac {-\left(4e/\alpha ^{2}\right)1/\alpha ^{2}+t^{\prime 2}+\rho ^{\prime 2}-z^{\prime 2}}{\xi ^{\prime 3}}}\\E_{\varphi '}'=&H_{\varphi '}'=H_{z'}'=0\\H_{\varphi '}'=&{\frac {\left(8e/\alpha ^{2}\right)\rho 't'}{\xi ^{\prime 3}}}\\\xi '=&{\sqrt {\left(1/\alpha ^{2}+t^{\prime 2}-\rho ^{\prime 2}-z^{\prime 2}\right)^{2}+\left(2\rho '/\alpha \right)^{2}}}\end{aligned}}}$

Це пов'язано з суперечливим дискусійним питанням про те, чи випромінюють заряди в безперервному гіперболічному русі чи ні, і чи узгоджується це з принципом еквівалентності — навіть якщо мова йде про ідеальну ситуацію, оскільки вічний гіперболічний рух неможливий. У той час як ранні автори, такі як Борн (1909) або Паулі (1921), стверджували, що випромінювання не виникає, пізніші автори, такі як Бонді і Голд, а також Фултон і Рорліх, показали, що випромінювання насправді виникає.

Власна система відліку

Шлях світла через E позначає видимий горизонт подій спостерігача P у гіперболічному русі.

Докладніше: та

У рівнянні (2) для гіперболічного руху вираз ${\displaystyle x}$ був константою, тоді як стрімкість ${\displaystyle \eta }$ була змінною. Однак, як зазначив Зоммерфельд, ${\displaystyle x}$ можна визначити як змінну, а ${\displaystyle \eta }$ зробити константой. Це означає, що рівняння стають перетвореннями, що вказує на одночасну форму спокою прискореного тіла з гіперболічними координатами ${\displaystyle (x,y,z,\eta )}$ як це бачить спостерігач, що рухається

${\displaystyle cT=x\sinh \eta ,\quad X=x\cosh \eta ,\quad Y=y,\quad Z=z}$

За допомогою цього перетворення власний час стає часом гіперболічно прискореної системи. Ці координати, які зазвичай називають координатами Ріндлера (подібні варіанти називаються ^[en]), розглядаються як окремий випадок координат Фермі або Власних координат і часто використовуються у зв'язку з ефектом Унру. При розгляді цих координат виявляється, що спостерігачі в гіперболічному русі мають видимий горизонт подій, з-за меж якого до них не може дійти жоден сигнал.

Спеціальне конформне перетворення

Менш відомим методом визначення системи відліку в гіперболічному русі є використання ^[en], що складається з ^[en], трансляції та іншої інверсії. Його зазвичай інтерпретують як калібрувальне перетворення в просторі Мінковського, хоча деякі автори альтернативно використовують його як перетворення прискорення (див. Каструп для критичного історичного огляду). Має наступну форму

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2ax+a^{2}x^{2}}}}$

Використовуючи лише один просторовий вимір ${\displaystyle x^{\mu }=(t,x)}$, а також подальше спрощення шляхом встановлення ${\displaystyle x=0}$, і використовуючи прискорення ${\displaystyle a^{\mu }=(0,-\alpha /2)}$, отримуємо

${\displaystyle T={\frac {t}{1-{\frac {1}{4}}\alpha {}^{2}t^{2}}},\quad X={\frac {-\alpha t^{2}}{2\left(1-{\frac {1}{4}}\alpha {}^{2}t^{2}\right)}}}$

з гіперболою ${\displaystyle \left(X-1/\alpha \right)^{2}-T^{2}=1/\alpha ^{2}}$. Виявляється, що при ${\displaystyle t=\pm (x+2/\alpha )}$ час стає сингулярним, на що Фултон, Рорліх і Віттен зауважують, що потрібно триматися подалі від цієї межі, тоді як Каструп (який дуже критично ставиться до цієї інтерпретації прискорення) зауважує, що це один із дивних результатів цієї інтерпретації.

Примітки

1. Misner, Thorne та Wheeler, 1973, Chapter 6.
2. Minkowski, Hermann (1909). Raum und Zeit. Vortrag, gehalten auf der 80. Naturforscher-Versammlung zu Köln am 21. September 1908 [Wikisource translation: Space and Time]. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (нім.). Leipzig.
3. Born, Max (1909). Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips [Теорія жорсткого електрона в кінематиці принципу відносності]. Annalen der Physik (нім.). 335 (11): 1—56. Bibcode:1909AnP...335....1B. doi:10.1002/andp.19093351102.
4. Sommerfeld, Arnold (1910). Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis [Про теорію відносності II: Чотиривимірний векторний аналіз]. Annalen der Physik (нім.). 338 (14): 649—689. Bibcode:1910AnP...338..649S. doi:10.1002/andp.19103381402.
5. von Laue, M. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (нім.) (вид. fourth edition of "Das Relativitätsprinzip"). Vieweg. с. 89–90, 155—166.; First edition 1911, second expanded edition 1913, third expanded edition 1919.
6. Pauli, Wolfgang (1921), Die Relativitätstheorie, Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften (нім.), 5 (2): 539—776
   
   In English: Pauli, W. (1981). Theory of Relativity (англ.). Т. 165. Dover Publications. ISBN . {{}}: Проігноровано |journal= ()
7. Galeriu, C. (2017). Electric charge in hyperbolic motion: the early history [Електричний заряд у гіперболічному русі: рання історія]. Archive for History of Exact Sciences (англ.). 71 (4): 1—16. arXiv:1509.02504. doi:10.1007/s00407-017-0191-x.
8. Gourgoulhon, E. (2013). Special Relativity in General Frames: From Particles to Astrophysics (англ.). Springer. с. 396. ISBN .
9. Møller, C. (1955). The theory of relativity (англ.). Oxford Clarendon Press. с. 74–75.
10. Rindler, W. (1977). Essential Relativity (англ.). Springer. с. 49–50. ISBN .
11. PhysicsFAQ (2016), "Relativistic rocket", see external links
12. Gallant, J. (2012). Doing Physics with Scientific Notebook: A Problem Solving Approach (англ.). John Wiley & Sons. с. 437—441. ISBN .
13. Müller, T., King, A., & Adis, D. (2006). A trip to the end of the universe and the twin "paradox". American Journal of Physics (англ.). 76 (4): 360—373. arXiv:physics/0612126. Bibcode:2008AmJPh..76..360M. doi:10.1119/1.2830528.
14. Fraundorf, P. (2012). A traveler-centered intro to kinematics (англ.): IV—B. arXiv:1206.2877. Bibcode:2012arXiv1206.2877F.
15. Pauli (1921), p. 628, used the notation ${\displaystyle x^{4}=a\operatorname {ch} {\frac {ct}{a}}}$ where ${\displaystyle a={\frac {c^{2}}{b}}}$
16. Sommerfeld (1910), pp. 670-671 used the form ${\displaystyle x=r\cos(\varphi )}$ and ${\displaystyle l=r\sin(\varphi )}$ with the imaginary angle ${\displaystyle i\psi }$ and imaginary time ${\displaystyle l=ict}$.
17. Bondi, H., & Gold, T. (1955). The field of a uniformly accelerated charge, with special reference to the problem of gravitational acceleration. Proceedings of the Royal Society of London (англ.). 229 (1178): 416—424. Bibcode:1955RSPSA.229..416B. doi:10.1098/rspa.1955.0098.
18. Fulton, Thomas; Rohrlich, Fritz (1960). Classical radiation from a uniformly accelerated charge. Annals of Physics (англ.). 9 (4): 499—517. Bibcode:1960AnPhy...9..499F. doi:10.1016/0003-4916(60)90105-6.
19. Rohrlich, Fritz (1963). The principle of equivalence. Annals of Physics (англ.). 22 (2): 169—191. Bibcode:1963AnPhy..22..169R. doi:10.1016/0003-4916(63)90051-4.
20. Stephen Lyle (2008). Uniformly Accelerating Charged Particles: A Threat to the Equivalence Principle (англ.). Springer. ISBN .
21. Øyvind Grøn (2012). Review Article: Electrodynamics of Radiating Charges. Advances in Mathematical Physics (англ.). 2012: 528631. doi:10.1155/2012/528631.
22. Galeriu, Cǎlin (2019) "Electric charge in hyperbolic motion: the special conformal solution", European Journal of Physics 40(6) DOI:10.1088/1361-6404/ab3df6
23. Kastrup, H. A. (2008). On the advancements of conformal transformations and their associated symmetries in geometry and theoretical physics. Annalen der Physik (англ.). 520 (9–10): 631—690. arXiv:0808.2730. Bibcode:2008AnP...520..631K. doi:10.1002/andp.200810324.
24. Fulton, T., Rohrlich, F., & Witten, L. (1962). Physical consequences of a co-ordinate transformation to a uniformly accelerating frame. Il Nuovo Cimento (англ.). 26 (4): 652—671. Bibcode:1962NCim...26..652F. doi:10.1007/BF02781794.

Список літератури

• (Feb 1936). A New Relativity. Paper I. Fundamental Principles and Transformations Between Accelerated Systems. Physical Review. 49 (3): 254—268. Bibcode:1936PhRv...49..254P. doi:10.1103/PhysRev.49.254.
• Leigh Page & Norman I. Adams (Mar 1936). A New Relativity. Paper II. Transformation of the Electromagnetic Field Between Accelerated Systems and the Force Equation. Physical Review. 49 (6): 466—469. Bibcode:1936PhRv...49..466P. doi:10.1103/PhysRev.49.466.
• ; ; (1973), Gravitation, W. H. Freeman, Chapter 6, ISBN 
• Rindler Wolfgang (1960). Hyperbolic Motion in Curved Space Time. Physical Review. 119 (6): 2082—2089. Bibcode:1960PhRv..119.2082R. doi:10.1103/PhysRev.119.2082.
• ^[en](1914): The Theory of Relativity, page 190.
• Naber, Gregory L., The Geometry of Minkowski Spacetime, Springer-Verlag, New York, 1992. (hardcover), (Dover paperback edition). pp 58–60.

Посилання

• Часті запитання з фізики: релятивістська ракета
• Mathpages: Accelerated Travels, чи випромінює рівномірно прискорений заряд?