Граф Науру

У теорії графів, граф Науру — симетричний двочастковий кубічний граф з 24 вершинами і 36 ребрами. Він був названий Девідом Епштейном на честь двадцятизіркового прапору Науру.

Nauru graph
Граф Науру є Гамільтоновим графом.
(Вершин)	24
(Ребер)	36
(Радіус)	4
(Діаметр)	4
(Обхват)	6
(Автоморфізм)	144 (S4×S3)
Хроматичне число	2
Хроматичний індекс	3
Число черг	2
Властивості	симетричний кубічний гамільтонів цілий граф Келі двочастковий

Його хроматичне число — 2, хроматичний індекс — 3, діаметр — 4, радіус — 4 та обхват — 6. Він так само містить 3-вершинно-зв'язний та 3-реберно-зв'язний графи.

Найменші кубічні графи з числами схрещень 1-8 відомі (послідовність A110507 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Найменший граф з числом схрещень 8 — граф Науру. Існує 5 неізоморфних кубічних графів 24-го порядку з числом перетину 8. Один з них являє собою граф Маꥳ, також відомий як (3-7)-клітина.

Конструкція

Граф Науру це Гамільтонів граф, він може бути описаний LCF-нотацією: [5, −9, 7, 9, −7, −5]⁴.

Граф Науру може бути побудований як узагальнений граф Петерсена G (12, 5), який утворюється на вершинах дванадцятикутника, пов'язаних з вершинами дванадцяти-кінцевої зірки, в якій кожна точка зірки поєднується точками за п'ять кроків від нього.

Така можлива комбінаторна побудова графа Науру. Візьміть три неоднакові об'єкти і розмістіть їх у чотири неоднакові коробки, не більше одного об'єкта в коробці. Є 24 способи, щоб розподілити об'єкти, відповідно 24 вершинам графа. Якщо можливо перейти з одного положення в інше, переміщуючи рівно один об'єкт із його поточного місця розташування у порожнє місце, то вершини, що відповідають двом положенням, поєднуються ребром. Як результат, графом переходу станів є граф Науру.

Алгебраїчні властивості

Група автоморфізмів графа Науру — група порядку 144. Вона ізоморфна прямому добутку симетричних груп S₄ і S₃ і діє транзитивно на вершинах по краях і на дугах графа. Тому графік Науру — симетричний граф. Він має автоморфізми, які переміщують будь-яку вершину до будь-якої іншої вершини і будь-яке ребро до будь-якого іншого ребра. За даними перепису Фостера, граф Науру є єдиним кубічно-симетричним графом на 24 вершинах.

Узагальнений граф Петерсена G(n, k) є вершинно-транзитивним тоді, і тільки тоді, коли n = 10 і k = 2 або якщо k² ≡ ± 1 (mod n) і є реберно-транзитивним тільки в наступних випадках: (n, k) = (4,1), (5,2), (8,3), (10,2), (10,3), (12,5), (24,5). Таким чином, граф Науру є одним з семи симетричних узагальнених графів Петерсена. Серед цих семи графів кубічний граф ${\displaystyle G(4,1)}$, граф Петерсена ${\displaystyle G(5,2)}$, граф Мебіуса — Кантора ${\displaystyle G(8,3)}$, додекаедрічний граф ${\displaystyle G(10,2)}$ і граф Дезарга ${\displaystyle G(10,3)}$.

Граф Науру — це граф Келі групи S₄, симетричної групи перестановок чотирьох елементів, що породжується трьома різними способами перестановки першого елементу з трьома іншими: (1 2), (1 3) і (1 4).

Характеристичний поліном графа Науру дорівнює

${\displaystyle (x-3)(x-2)^{6}(x-1)^{3}x^{4}(x+1)^{3}(x+2)^{6}(x+3),\ }$

що робить його цілим графом, тобто графом спектр якого складається повністю з цілих чисел.

1-планарний граф, що має 8 перетинів.

Симетричний тор . Тор формується, топологічно, склеюванням протилежних країв правильного шестикутника один до одного.

Узагальнений граф Петерсена. Розфарбовування і перестановки показують, що це граф Келі S4.

Матриця суміжності. Кожне ребро представляє два записи однакового кольору, що є симетричними до головної діагоналі.

Топологічні властивості

Симетричне вкладення графа Науру родової 4 поверхні, з шістьма двенадцатикутними об'єктами.

Граф Науру має два різних вкладення у вигляді ^[en]: топологічні поверхні розбиваються на ряд ребер, вершин і граней таким чином, що існує симетричний перекид будь-якого прапорця (інцидентна трійка з вершини, ребра та грані) у будь-який інший прапорець.

Одне з цих двох вкладень утворює тор, тому граф Науру — це тороїдальний граф: він складається з 12 шестикутних граней разом з 24 вершинами і 36 ребрами графа Науру. Двоїстий граф — це вкладення симетричного 6-регулярного графа з 12 вершинами і 36 ребрами.

Інші симетричні вкладення графа Науру мають шість дванадцятикутних граней, які утворюють поверхню 4 роду . Двоїстий граф може бути сформований з простого графа.

Геометричні властивості

Як і у всіх узагальнених графах Петерсена, граф Науру можна представити точками на площині таким чином, що сусідні вершини знаходяться на одиниці відстані один від одного. Це граф одиничної відстані. Такими є тільки узагальнені графи Петерсена G (n, р), вони не можуть бути представлені таким чином, що симетрії малюнка утворюють циклічну групу порядку n. Замість цього, одинична відстань графа має діедральну групу Dih₆ як групу її симетрії.

Граф Науру є графом одиничних відстаней.

Історія

Першою людиною, що написала про граф Науру був Рональд Фостер, він зробив це у спробі зібрати усі кубічні симетричні графи. Список кубічних симетричних графів зараз носить ім'я Перепис Фостера і всередині цього списку граф Науру має номер F24A, але не має конкретного імені. У 1950 р. Гарольд Коксетер описав граф у другий раз, даючи ствердження Гамільтона для ілюстрації цієї статті, та описуючи його як граф Леві проєктивної конфігурації, описаного Захарієм.

У 2003, ^[en] написав у своєму онлайн-МАА рубрику про те, що F24A заслуговує на назву, але не запропонував її. Нарешті, у 2007 році, Девід Епштейн використав назву Граф Науру, тому що прапор Республіки Науру має 12-кінцеву зірку, аналогічну до тієї, що з'являється в конструкції графа як узагальнений граф Петерсена.

Примітки

1. Eppstein, D., The many faces of the Nauru graph [ 21 липня 2011 у Wayback Machine.] on LiveJournal, 2007.
2. and Dobcsányi, P. «Trivalent Symmetric Graphs Up to 768 Vertices.» J. Combin. Math. Combin. Comput. 40, 41-63, 2002.
3. ; Exoo, G. (2009), , Mathematica Journal, 11, архів оригіналу за 6 березня 2019, процитовано 6 червня 2015.
4. Weisstein, Eric W. Graph Crossing Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
5. Royle, G. F024A data [ 6 березня 2011 у Wayback Machine.]
6. ; Graver, J. E.; Watkins, M. E. (1971), The groups of the generalized Petersen graphs, Proceedings of the , 70: 211—218, doi:10.1017/S0305004100049811.
7. (1992), The regular polyhedra of type {p, 3} with 2p vertices, Geometriae Dedicata, 43 (3): 285—289, doi:10.1007/BF00151518.
8. Žitnik, Arjana; Horvat, Boris; (2010), (PDF), IMFM preprints, т. 1109, архів оригіналу (PDF) за 2 березня 2012, процитовано 6 червня 2015.
9. Foster, R. M. (1932), Geometrical circuits of electrical networks, , 51: 309—317, doi:10.1109/T-AIEE.1932.5056068.
10. Bouwer, I. Z.; Chernoff, W. W.; Monson, B.; Star, Z (1988), The Foster Census, Charles Babbage Research Centre.
11. Coxeter, H. S. M. (1950), Self-dual configurations and regular graphs, Bulletin of the American Mathematical Society, 56: 413—455, doi:10.1090/S0002-9904-1950-09407-5.
12. Zacharias, M. (1941), Untersuchungen über ebene Konfigurationen (124, 163), Deutsche Mathematik, 6: 147—170.
13. (2003), , Mathematical Association of America, архів оригіналу за 7 травня 2013, процитовано 6 червня 2015.