Гомоморфізм Бокштейна

У гомологічній алгебрі, гомоморфізм Бокштейна є звязуючим гомоморфізмом для короткої точної послідовності:

${\displaystyle 0\to P\to Q\to R\to 0}$

абелевих груп, якщо вони використовуються як коефіцієнти гомологічних груп ланцюгового комплекса C.

У цьому випадку однозначно визначається гомоморфізм

${\displaystyle \beta \colon H_{i}(C,R)\to H_{i-1}(C,P).}$

Більш детально, у означенні C є комплексом вільних абелевих груп або більш загально абелевих груп без кручень, а гомологія обчислюється для комплексів одержаних за допомогою тензорного добутку груп у точній послідовності із групами із C. Оскільки абелеві групи без кручень є плоскими модулями то в результаті одержується коротка точна послідовність ланцюгових комплексів і гомоморфізм ${\displaystyle \beta }$ одержується стандартним методом за допомогою леми про змію.

Подібно будується і гомоморфізм для когомологічних груп:

${\displaystyle \beta \colon H^{i}(C,R)\to H^{i+1}(C,P).}$

Найважливішими на практиці є гомоморфізми Бокштейна ${\displaystyle \beta }$ для точних послідовностей коефіцієнтів

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0,}$ особливо для простих чисел p.

У цьому випадку для гомоморфізма Бокштейна також:

${\displaystyle \beta \beta =0}$,

${\displaystyle \beta (a\cup b)=\beta (a)\cup b+(-1)^{\dim a}a\cup \beta (b)}$;

іншими словами гомоморфізм Бокштейна є супердеривацією на когомологічному кільці з коефіцієнтами за модулем p.

Гомоморфізма Бокштейна у цьому випадку використовується як один із породжуючих елементів алгебри Стінрода.

Література

• Bockstein, Meyer (1942), Universal systems of ∇-homology rings, C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS, New Series, 37: 243—245, MR 0008701
• Bockstein, Meyer (1943), A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension, C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS, New Series, 38: 187—189, MR 0009115
• Bockstein, Meyer (1958), Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d'homologie, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 247: 396—398, MR 0103918
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN , MR 1867354.
• Spanier, Edwin H. (1981), Algebraic topology. Corrected reprint, New York-Berlin: Springer-Verlag, с. xvi+528, ISBN , MR 0666554