В алгебраїчній геометрії геометричний рід це основний біраціональний інваріант pg дляалгебраїчних многовидів і комплексн

В алгебраїчній геометрії геометричний рід — це основний біраціональний інваріант $p g$ дляалгебраїчних многовидів і комплексних многовидів .

Визначення

Геометричний рід може бути визначений для неоднорідних комплексних проективних многовидів і, загалом, для Комплексних різновидів як число Ходжа $h n,0$ (рівне $h 0, n$ за дуальністю Серра), тобто розмірність канонічної лінійної системи плюс один.

Іншими словами, для різновиду $V$ комплексної розмірності $n$ — це число лінійно незалежних голоморфних $n$ — форм, які можна знайти на $V$ Це визначення, як вимір

H 0 (V,Ω n)

потім переноситься на будь-яке базове поле, коли $Ω$ вважається групою диференціалів Келера, а потужність є (верхньою) зовнішньою силою, канонічним рядом лінії .

Геометричний рід — це перший інваріант $p g = P 1$ послідовності інваріантів $P n$ називається plurigenera .

Випадок кривих

У випадку складних різновидів (складні локуси) несингулярні криві є Рімановими поверхнями . Алгебраїчне визначення роду узгоджується з топологічним поняттям . На несинулярній кривій канонічний лінійний пучок має ступінь $2 g - 2$ .

Поняття про родоподібний характер є у викладі теореми Рімана-Роха (див. Також теорему Рімана-Роха про алгебраїчні криві) та формули Рімана-Гурвіца . За теоремою Рімана-Роха, непридатна крива площини градуса d має геометричний рід

g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,

де s — кількість сингулярностей при правильному підрахунку

Якщо $C$ — невідворотна (і гладка) гіперповерхня в проективній площині, вирізана поліноміальним рівнянням ступеня $d$ , то її звичайний лінійний сегмент — це скручувальний сегмерт Серра ${\mathcal {O}}(d)$ , тому за формулою доповнення канонічне рядок ліній $C$ задається через

{\mathcal {K}}_{C}=\left[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d-3)\right]_{\vert C}={\mathcal {O}}(d)_{\vert C}

Рід особливих кривих

Визначення геометричного роду переноситься класично до сингулярних кривих $C$ , декретуючи це

p g (C)

- це геометричний рід нормалізації $C'$ . Тобто, починаючи з перетворення

C' \to C

є біраціональним, визначення яке розширюється біраціональною інваріантністю.

Див. також

Рід (математика)
Арифметичний рід
Інваріанти поверхонь

Примітки

Danilov & Shokurov (1998), p. 53

Список літератури

; (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. с. 494. ISBN . ; (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. с. 494. ISBN . ; (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. с. 494. ISBN .
V. I. Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (1998). Algebraic curves, algebraic manifolds, and schemes. Springer. ISBN . V. I. Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (1998). Algebraic curves, algebraic manifolds, and schemes. Springer. ISBN . V. I. Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (1998). Algebraic curves, algebraic manifolds, and schemes. Springer. ISBN .

[1] Danilov & Shokurov (1998), p. 53