Ізоморфі́зм груп — бієктивний гомоморфізм груп.
Визначення
Ізоморфізм груп — взаємно однозначне відображення групи в групу , що зберігає групову операцію, тобто:
- .
Ізоморфні групи у певному сенсі є еквівалентними.
Приклади
- Група лінійних операторів та група матриць, що відповідають цим операторам за фіксації певного базису, є ізоморфними.
- Група дійсних чисел з додаванням, ізоморфна групі додатних дійсних чисел з множенням:
через ізоморфізм (див. експонента).
Автоморфізм групи
Автоморфізм групи — ізоморфізм групи в себе. Тобто бієкція
- .
Автоморфізм групи називається внутрішнім, якщо його можна задати як
- .
Не внутрішній автоморфізм називають зовнішнім автоморфізмом.
- Автоморфізм завжди переводить одиницю групи в себе ж.
- Композиція двох автоморфізмів є автоморфізмом. Множина всіх автоморфізмів , відносно композиції утворює групу — групу автоморфізмів , позначається — .
- Множина всіх внутрішніх автоморфізмів є нормальною підгрупою в , і позначається — .
- Фактор-група називається групою зовнішніх автоморфізмів, і позначається — .
Див. також
Джерела
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Nemaye perevirenih versij ciyeyi storinki jmovirno yiyi she ne pereviryali na vidpovidnist pravilam proektu Izomorfi zm grup biyektivnij gomomorfizm grup Zmist 1 Viznachennya 2 Prikladi 3 Avtomorfizm grupi 4 Div takozh 5 DzherelaViznachennyared Izomorfizm grup vzayemno odnoznachne vidobrazhennya ϕ displaystyle phi nbsp grupi G displaystyle G nbsp v grupu H displaystyle H cdot nbsp sho zberigaye grupovu operaciyu tobto ϕ G H ϕ x y ϕ x ϕ y x y G displaystyle phi colon G rightarrow H colon quad phi x y phi x cdot phi y quad forall mathit x y in G nbsp Izomorfni grupi u pevnomu sensi ye ekvivalentnimi Prikladired Grupa linijnih operatoriv ta grupa matric sho vidpovidayut cim operatoram za fiksaciyi pevnogo bazisu ye izomorfnimi Grupa dijsnih chisel z dodavannyam izomorfna grupi dodatnih dijsnih chisel z mnozhennyam R R displaystyle mathbb R cong mathbb R times nbsp cherez izomorfizm f x e x displaystyle f x e x nbsp div eksponenta Avtomorfizm grupired Avtomorfizm grupi izomorfizm grupi G displaystyle G nbsp v sebe Tobto biyekciya ϕ G G ϕ x y ϕ x ϕ y x y G displaystyle phi colon G rightarrow G colon quad phi x y phi x phi y quad forall mathit x y in G nbsp Avtomorfizm grupi nazivayetsya vnutrishnim yaksho jogo mozhna zadati yak a G x G ϕ x a x a 1 displaystyle exists a in G forall x in G colon quad phi x a x a 1 nbsp Ne vnutrishnij avtomorfizm nazivayut zovnishnim avtomorfizmom Avtomorfizm zavzhdi perevodit odinicyu grupi v sebe zh Kompoziciya dvoh avtomorfizmiv ye avtomorfizmom Mnozhina vsih avtomorfizmiv G displaystyle G nbsp vidnosno kompoziciyi utvoryuye grupu grupu avtomorfizmiv G displaystyle G nbsp poznachayetsya Aut G displaystyle operatorname Aut G nbsp Mnozhina vsih vnutrishnih avtomorfizmiv ye normalnoyu pidgrupoyu v Aut G displaystyle operatorname Aut G nbsp i poznachayetsya Inn G displaystyle operatorname Inn G nbsp Faktor grupa Aut G Inn G displaystyle operatorname Aut G operatorname Inn G nbsp nazivayetsya grupoyu zovnishnih avtomorfizmiv i poznachayetsya Out G displaystyle operatorname Out G nbsp Div takozhred Izomorfizm Gomomorfizm grup Teoremi pro izomorfizmiDzherelared ukr Gavrilkiv V M Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Kon P Universalnaya algebra Moskva Mir 1968 351 s ros Otrimano z https uk wikipedia org wiki Izomorfizm grup Avtomorfizm grup