Борелева множина

Борелівська сигма-алгебра — це мінімальна сигма-алгебра, така, що містить всі відкриті підмножини топологічного простору (відповідно, вона містить і всі замкнуті). Елементи даної сигма-алгебри називаються борелівськими множинами.

Якщо не обумовлене протилежне, як топологічний простір виступає множина дійсних чисел.

Борелівська сигма-алгебра зазвичай виступає в ролі сигма-алгебри випадкових подій ймовірнісного простору.

У борелівській сигма-алгебрі на прямій або на відрізку міститься велика кількість «простих» множин: всі інтервали, напівінтервали, відрізки і їх злічені об'єднання. Алгебра була названа на честь Бореля.

Спорідненні поняття

• Функція Бореля — відображення одного топологічного простору в інший (зазвичай обидва є просторами дійсних чисел, для якого прообраз будь-якої борелівської множини є борелівська множина).

Властивості

• Всяка борелівська множина на відрізку є вимірною щодо міри Лебега, але зворотне невірно.

Приклад вимірної за Лебегом, але не борелівської множини

Розглянемо функцію ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}(x+c(x))}$ на відрізку ${\displaystyle [0,\;1]}$, де ${\displaystyle c(x)}$ — функція Кантора. Міра образу множини Кантора рівна ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, а значить, міра образу її доповнення також рівна ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$. Функція ${\displaystyle f(x)}$ монотонна, значить, вона вимірна і існує обернена до неї функція. Оскільки міра образу канторової множини ненульова, в ній можна знайти невимірну множину ${\displaystyle A}$. Тоді образ ${\displaystyle A}$ при відображенні ${\displaystyle f^{-1}}$ буде вимірним (оскільки він лежить в канторовій множині, міра якої нульова), але не буде борелівською (оскільки інакше ${\displaystyle A}$ була б вимірною як прообраз борелівської множини при вимірному відображенні).

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)