Конфігурацією Мебіуса або тетраедрами Мебіуса називають конфігурацію в евклідовому просторі або проєктивному просторі, що складається з двох взаємно вписаних тетраедрів — кожна вершина одного тетраедра лежить на площині, що проходить через грань іншого тетраедра і навпаки. Таким чином, в отриманій системі восьми точок і восьми площин кожна точка лежить на чотирьох площинах (три площини визначають вершину тетраедра, а четверта площина — це площина, що проходить через грань другого тетраедра, на якій вершина лежить), і кожна площина містить чотири точки (три вершини грані тетраедра і вершина іншого тетраедра, що лежить на тій самій площині).
Теорема Мебіуса
Конфігурацію названо на честь Августа Фердинанда Мебіуса, який довів 1828 року, що якщо два тетраедри мають властивість, що сім їхніх вершин лежать на відповідних площинах граней іншого тетраедра, то восьма вершина також лежить на площині відповідної грані, утворюючи конфігурацію Мебіуса. Ця [en] істинна і в загальнішому тривимірному проєктивному просторі тоді й лише тоді, коли в цьому просторі виконується теорема Паппа (Рейдемейстер, [en]), і виконується в тривимірному просторі, побудованому на тілі, тоді й лише тоді, коли виконується комутативний закон, і тому група маж бути полем (Al-Dhahir). Через проєктивну подвійність результат Мебіуса еквівалентний твердженню, що якщо сім з восьми площин двох тетраедрів, які проходять через грані, містять відповідні вершини іншого тетраедра, то площина восьмої грані теж містить іншу вершину.
Побудова
Коксетер (Coxeter, 1950) описав просту побудову конфігурації. Почнемо з довільної точки p евклідового простору. Нехай A, B, C і D — чотири площини, що проходять через p, ніякі три з яких не перетинаються по одній прямій. Розмістимо шість точок q, r, s, t, u і v на шести прямих, утворених попарним перетином цих площин таким чином, що ніякі чотири точки не лежать на одній площині. Для будь-якої площини A, B, C і D чотири з семи точок p, q, r, s, t, u і v лежать на цій площині і три лежать поза нею. Побудуємо площини A’, B’, C’ і D’ через трійки точок, що лежать поза площин A, B, C і D відповідно. Тоді за двоїстою формою теореми Мебіуса ці чотири нові площини перетнуться в одній точці w. Вісім точок p, q, r, s, t, u, v і w і вісім площин A, B, C, D, A’, B’, C’ і D’ утворюють конфігурацію Мебіуса.
Схожі конструкції
Гільберт і Кон-Фоссен (Hilbert, Cohn-Vossen, 1952) стверджують (без посилань), що існують п'ять конфігурацій, які мають вісім точок і вісім площин з чотирма точками на кожній площині і з чотирма площинами, що проходять через кожну точку, які можна реалізувати в тривимірному евклідовому просторі. Такі конфігурації мають позначення . Інформацію про ці конфігурації можна отримати зі статті (Steinitz, 1910). У статті, спираючись на результати Мафа (Muth, 1892), Бавера (Bauer, 1897) і Мартінетті (Martinetti, 1897), насправді стверджується, що є п'ять конфігурацій з властивостями, що максимум дві площини мають дві загальні точки і двоїсту властивість, що максимум дві точки належать двом площинам. (Ця умова означає, що будь-які три точки не лежать на одній прямій і двоїсті три площини не перетинаються по одній прямій.) Однак існує десять інших конфігурацій, для яких ця умова не виконується, і всі п'ятнадцять конфігурацій можна реалізувати в тривимірному просторі. Цікаві конфігурації, в яких беруть участь два тетраедри, кожен вписаний і описаний один відносно одного, і це якраз ті конфігурації, які задовольняють вищеописаній властивості. Таким чином, існує п'ять конфігурацій з тетраедрами, і вони відповідають п'яти класам спряженості симетричної групи . Можна отримати перестановки чотирьох вершин одного тетраедра S = ABCD в себе таким способом: кожна вершина p тетраедра S лежить на площині, яка містить три вершини іншого тетраедра T. Остання точка тетраедра T лежить на площині, що містить три точки тетраедра S, і точка Q тетраедра S лежить поза цією площиною. Отримуємо відображення . П'ять класів спряженості перестановок — це , (12)(34), (12), (123), (1234) і, з цих п'яти класів, конфігурація Мебіуса відповідає класу спряженості . Його позначають . Штайніц стверджує, що якщо два тетраедри — це і , то вісім площин цих тетраедрів задаються індексами з непарною сумою .
Штайніц також стверджує, що тільки одна конфігурація Мебіуса відповідає геометричній теоремі. Однак із цим не згоден Глін (Glynn, 2010) — він показав, скориставшись комп'ютерним пошуком, що існує рівно дві : одна відповідає конфігурації Мебіуса, для другої конфігурації (що відповідає класу спряженості (12)(34) вище) теорема також виконується у всіх тривимірних проєктивних просторах над полем, але не над загальними тілами. Існують інші подібності між цими двома конфігураціями, зокрема той факт, що вони самодвоїсті в сенсі двоїстості матроїдів. У абстрактних термінах, друга конфігурація має «точки» 0,…, 7 і «площини» 0125+i, (i = 0,…, 7), де цілі беруться за модулем вісім. Цю конфігурацію, як і конфігурацію Мебіуса, можна подати як два тетраедри, взаємно вписаних і описаних — у поданні у вигляді цілих тетраедри можуть бути 0347 і 1256. Однак ці дві конфігурації не ізоморфні, оскільки конфігурація Мебіуса має чотири пари площин, що не містять спільних точок конфігурації, тоді як друга конфігурація таких площин не має.
Граф Леві конфігурації Мебіуса має 16 вершин, по одній для кожної точки і площини, а ребра відповідають інцидентності вершин і площин (пара — площина і вершина, що лежить на ній). Граф ізометричний графу гіперкуба з 16 вершинами Q4. Близька конфігурація Мебіуса — Кантора, утворена двома взаємно вписаними чотирикутниками, має графом Леві граф Мебіуса — Кантора, підграф графа Q4.
Примітки
- K. Reidemeister. Zur Axiomatik der 3-dimensionalen projektive Geometrie // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1929. — Bd. 38. — S. 71..
- H. S. M. Coxeter. Self-dual configurations and regular graphs // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1950. — Vol. 56, iss. 5. — P. 413–455. — DOI: ..
Література
- M. W. Al-Dhahir. A class of configurations and the commutativity of multiplication. — The Mathematical Gazette. — The Mathematical Association, 1956. — Т. 40. — С. 241–245. — DOI:.
- G. Bauer. // München Ber.. — 1897. — Т. 27 (18 червня). — С. 359..
- H. S. M. Coxeter. Self-dual configurations and regular graphs // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1950. — Т. 56, вип. 5 (18 червня). — С. 413–455. — DOI: ..
- D. G. Glynn. Theorems of points and planes in three-dimensional projective space // Journal of the Australian Mathematical Society. — 2010. — Т. 88 (18 червня). — С. 75–92. — DOI: ..
- David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. — 2nd. — Chelsea, 1952. — С. 184. — ..
- V. Martinetti. Le configurazioni (84,84) di punti e piani // Giornale di Matematiche di Battaglini. — 1897. — Т. 35 (18 червня). — С. 81–100. з джерела 26 вересня 2021. Процитовано 26 вересня 2021..
- A. F. Möbius. Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden einejede in Bezug auf die andere um- und eingeschriehen zugleich heissen? // . — 1828. — Т. 3 (18 червня). — С. 273–278. У зібранні творів (1886), том. 1, стор. 439—446.
- P. Muth. // Zeitschrift Math. Phys.. — 1892. — Т. 37 (18 червня). — С. 117..
- K. Reidemeister. Zur Axiomatik der 3-dimensionalen projektive Geometrie // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1929. — Т. 38 (18 червня). — С. 71..
- K. Reidemeister. Aufgabe 63 (gestellt in Jahresbericht D. M. V. 38 (1929), 71 kursiv). Lösung von E. Schönhardt // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1931. — Т. 40 (18 червня). — С. 48–50..
- Ernst Steinitz. Konfigurationen der projektiven Geometrie. 6. Konfigurationen von Punkten und Ebenen // Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften. — 1910. — Т. 3-1-1 A B 5a (18 червня). — С. 492–494..
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Konfiguraciyeyu Mebiusa abo tetraedrami Mebiusa nazivayut konfiguraciyu v evklidovomu prostori abo proyektivnomu prostori sho skladayetsya z dvoh vzayemno vpisanih tetraedriv kozhna vershina odnogo tetraedra lezhit na ploshini sho prohodit cherez gran inshogo tetraedra i navpaki Takim chinom v otrimanij sistemi vosmi tochok i vosmi ploshin kozhna tochka lezhit na chotiroh ploshinah tri ploshini viznachayut vershinu tetraedra a chetverta ploshina ce ploshina sho prohodit cherez gran drugogo tetraedra na yakij vershina lezhit i kozhna ploshina mistit chotiri tochki tri vershini grani tetraedra i vershina inshogo tetraedra sho lezhit na tij samij ploshini Priklad konfiguraciyi Na verhnomu malyunku ploshini granej chervonogo tetraedra Na nizhnomu ploshini granej sinogo tetraedra Koordinati vershin chervonogo tetraedra 0 0 0 displaystyle 0 0 0 0 0 1 displaystyle 0 0 1 0 1 0 displaystyle 0 1 0 i 1 0 0 displaystyle 1 0 0 Koordinati vershin sinogo tetraedra 0 g g displaystyle 0 gamma gamma g 0 g displaystyle gamma 0 gamma g g 0 displaystyle gamma gamma 0 i l l l displaystyle lambda lambda lambda de g 12 displaystyle gamma frac 1 sqrt 2 i l 13 displaystyle lambda frac 1 3 Teorema MebiusaKonfiguraciyu nazvano na chest Avgusta Ferdinanda Mebiusa yakij doviv 1828 roku sho yaksho dva tetraedri mayut vlastivist sho sim yihnih vershin lezhat na vidpovidnih ploshinah granej inshogo tetraedra to vosma vershina takozh lezhit na ploshini vidpovidnoyi grani utvoryuyuchi konfiguraciyu Mebiusa Cya en istinna i v zagalnishomu trivimirnomu proyektivnomu prostori todi j lishe todi koli v comu prostori vikonuyetsya teorema Pappa Rejdemejster en i vikonuyetsya v trivimirnomu prostori pobudovanomu na tili todi j lishe todi koli vikonuyetsya komutativnij zakon i tomu grupa mazh buti polem Al Dhahir Cherez proyektivnu podvijnist rezultat Mebiusa ekvivalentnij tverdzhennyu sho yaksho sim z vosmi ploshin dvoh tetraedriv yaki prohodyat cherez grani mistyat vidpovidni vershini inshogo tetraedra to ploshina vosmoyi grani tezh mistit inshu vershinu PobudovaKokseter Coxeter 1950 opisav prostu pobudovu konfiguraciyi Pochnemo z dovilnoyi tochki p evklidovogo prostoru Nehaj A B C i D chotiri ploshini sho prohodyat cherez p niyaki tri z yakih ne peretinayutsya po odnij pryamij Rozmistimo shist tochok q r s t u i v na shesti pryamih utvorenih poparnim peretinom cih ploshin takim chinom sho niyaki chotiri tochki ne lezhat na odnij ploshini Dlya bud yakoyi ploshini A B C i D chotiri z semi tochok p q r s t u i v lezhat na cij ploshini i tri lezhat poza neyu Pobuduyemo ploshini A B C i D cherez trijki tochok sho lezhat poza ploshin A B C i D vidpovidno Todi za dvoyistoyu formoyu teoremi Mebiusa ci chotiri novi ploshini peretnutsya v odnij tochci w Visim tochok p q r s t u v i w i visim ploshin A B C D A B C i D utvoryuyut konfiguraciyu Mebiusa Shozhi konstrukciyiGilbert i Kon Fossen Hilbert Cohn Vossen 1952 stverdzhuyut bez posilan sho isnuyut p yat konfiguracij yaki mayut visim tochok i visim ploshin z chotirma tochkami na kozhnij ploshini i z chotirma ploshinami sho prohodyat cherez kozhnu tochku yaki mozhna realizuvati v trivimirnomu evklidovomu prostori Taki konfiguraciyi mayut poznachennya 84 displaystyle 8 4 Informaciyu pro ci konfiguraciyi mozhna otrimati zi statti Steinitz 1910 U statti spirayuchis na rezultati Mafa Muth 1892 Bavera Bauer 1897 i Martinetti Martinetti 1897 naspravdi stverdzhuyetsya sho ye p yat 84 displaystyle 8 4 konfiguracij z vlastivostyami sho maksimum dvi ploshini mayut dvi zagalni tochki i dvoyistu vlastivist sho maksimum dvi tochki nalezhat dvom ploshinam Cya umova oznachaye sho bud yaki tri tochki ne lezhat na odnij pryamij i dvoyisti tri ploshini ne peretinayutsya po odnij pryamij Odnak isnuye desyat inshih 84 displaystyle 8 4 konfiguracij dlya yakih cya umova ne vikonuyetsya i vsi p yatnadcyat konfiguracij mozhna realizuvati v trivimirnomu prostori Cikavi konfiguraciyi v yakih berut uchast dva tetraedri kozhen vpisanij i opisanij odin vidnosno odnogo i ce yakraz ti konfiguraciyi yaki zadovolnyayut visheopisanij vlastivosti Takim chinom isnuye p yat konfiguracij z tetraedrami i voni vidpovidayut p yati klasam spryazhenosti simetrichnoyi grupi S4 displaystyle S 4 Mozhna otrimati perestanovki chotiroh vershin odnogo tetraedra S ABCD v sebe takim sposobom kozhna vershina p tetraedra S lezhit na ploshini yaka mistit tri vershini inshogo tetraedra T Ostannya tochka tetraedra T lezhit na ploshini sho mistit tri tochki tetraedra S i tochka Q tetraedra S lezhit poza ciyeyu ploshinoyu Otrimuyemo vidobrazhennya P Q displaystyle P rightarrow Q P yat klasiv spryazhenosti perestanovok S4 displaystyle S 4 ce e displaystyle e 12 34 12 123 1234 i z cih p yati klasiv konfiguraciya Mebiusa vidpovidaye klasu spryazhenosti e displaystyle e Jogo poznachayut Ke displaystyle K e Shtajnic stverdzhuye sho yaksho dva tetraedri Ke displaystyle K e ce A0 B0 C0 D0 displaystyle A 0 B 0 C 0 D 0 i A1 B1 C1 D1 displaystyle A 1 B 1 C 1 D 1 to visim ploshin Ai Bj Ck Dl displaystyle A i B j C k D l cih tetraedriv zadayutsya indeksami z neparnoyu sumoyu i j k l displaystyle i j k l Shtajnic takozh stverdzhuye sho tilki odna 84 displaystyle 8 4 konfiguraciya Mebiusa vidpovidaye geometrichnij teoremi Odnak iz cim ne zgoden Glin Glynn 2010 vin pokazav skoristavshis komp yuternim poshukom sho isnuye rivno dvi 84 displaystyle 8 4 odna vidpovidaye konfiguraciyi Mebiusa dlya drugoyi konfiguraciyi sho vidpovidaye klasu spryazhenosti 12 34 vishe teorema takozh vikonuyetsya u vsih trivimirnih proyektivnih prostorah nad polem ale ne nad zagalnimi tilami Isnuyut inshi podibnosti mizh cimi dvoma konfiguraciyami zokrema toj fakt sho voni samodvoyisti v sensi dvoyistosti matroyidiv U abstraktnih terminah druga konfiguraciya maye tochki 0 7 i ploshini 0125 i i 0 7 de cili berutsya za modulem visim Cyu konfiguraciyu yak i konfiguraciyu Mebiusa mozhna podati yak dva tetraedri vzayemno vpisanih i opisanih u podanni u viglyadi cilih tetraedri mozhut buti 0347 i 1256 Odnak ci dvi 84 displaystyle 8 4 konfiguraciyi ne izomorfni oskilki konfiguraciya Mebiusa maye chotiri pari ploshin sho ne mistyat spilnih tochok konfiguraciyi todi yak druga konfiguraciya takih ploshin ne maye Graf Levi konfiguraciyi Mebiusa maye 16 vershin po odnij dlya kozhnoyi tochki i ploshini a rebra vidpovidayut incidentnosti vershin i ploshin para ploshina i vershina sho lezhit na nij Graf izometrichnij grafu giperkuba z 16 vershinami Q4 Blizka konfiguraciya Mebiusa Kantora utvorena dvoma vzayemno vpisanimi chotirikutnikami maye grafom Levi graf Mebiusa Kantora pidgraf grafa Q4 PrimitkiK Reidemeister Zur Axiomatik der 3 dimensionalen projektive Geometrie Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 1929 Bd 38 S 71 H S M Coxeter Self dual configurations and regular graphs Bulletin of the American Mathematical Society 1950 Vol 56 iss 5 P 413 455 DOI 10 1090 S0002 9904 1950 09407 5 LiteraturaM W Al Dhahir A class of configurations and the commutativity of multiplication The Mathematical Gazette The Mathematical Association 1956 T 40 S 241 245 DOI 10 2307 3609605 G Bauer Munchen Ber 1897 T 27 18 chervnya S 359 H S M Coxeter Self dual configurations and regular graphs Bulletin of the American Mathematical Society 1950 T 56 vip 5 18 chervnya S 413 455 DOI 10 1090 S0002 9904 1950 09407 5 D G Glynn Theorems of points and planes in three dimensional projective space Journal of the Australian Mathematical Society 2010 T 88 18 chervnya S 75 92 DOI 10 1017 S1446788708080981 David Hilbert Stephan Cohn Vossen Geometry and the Imagination 2nd Chelsea 1952 S 184 ISBN 0 8284 1087 9 V Martinetti Le configurazioni 84 84 di punti e piani Giornale di Matematiche di Battaglini 1897 T 35 18 chervnya S 81 100 z dzherela 26 veresnya 2021 Procitovano 26 veresnya 2021 A F Mobius Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden einejede in Bezug auf die andere um und eingeschriehen zugleich heissen 1828 T 3 18 chervnya S 273 278 U zibranni tvoriv 1886 tom 1 stor 439 446 P Muth Zeitschrift Math Phys 1892 T 37 18 chervnya S 117 K Reidemeister Zur Axiomatik der 3 dimensionalen projektive Geometrie Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 1929 T 38 18 chervnya S 71 K Reidemeister Aufgabe 63 gestellt in Jahresbericht D M V 38 1929 71 kursiv Losung von E Schonhardt Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 1931 T 40 18 chervnya S 48 50 Ernst Steinitz Konfigurationen der projektiven Geometrie 6 Konfigurationen von Punkten und Ebenen Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften 1910 T 3 1 1 A B 5a 18 chervnya S 492 494