Цілком незв'язний простір

У топології цілком незв'язним простором називається топологічний простір, який не має нетривіальних зв'язаних підмножин. У будь-якому топологічному просторі порожня множина і одноточкові множини є зв'язаними. У цілком незв'язаному просторі вони є єдиними зв'язаними підмножинами.

Важливим прикладом цілком незв'язаного простору є множина Кантора. Іншим прикладом, що відіграє ключову роль в алгебричній теорії чисел, є поле p-адичних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

Означення

Топологічний простір X називається цілком незв'язним, якщо усі його компоненти зв'язності X є одноточковими множинами.

Подібними є так звані цілком відокремлювані простори для яких всі квазікомпоненти є одноточковими множинами. Іншими словами для будь-яких двох точок простору існує відкрито-замкнута множина, що містить лише одну із двох точок (доповнення цієї множини буде відкрито-замкнутою множиною, що містить лише іншу точку).

Приклади

• Дискретний простір
• Множина раціональних чисел
• Множина ірраціональних чисел
• Множина p-адичних чисел.
  • Більш загально, цілком незв'язними є усі проскінченні групи
• Множина Кантора
• Простір Бера
• Стрілка Зоргенфрея
• Кожен цілком відокремлюваний простір є цілком незв'язним. Натомість нехай ${\displaystyle \mathbb {Q} _{0}=(\mathbb {Q} \sqcup \mathbb {Q} )/{\sim }}$ , де еквівалентність полягає у ідентифікації однакових елементів двою копій раціональних чисел за винятком нуля. Цей простір є цілком незв'язним але розглянувши дві копії нуля можна показати, що він не є навіть гаусдорфовим і тим більше не є цілком відокремлюваним.
• нульвимірний гаусдорфів простір
• Нульвимірні T₁-простори
• Екстремально незв'язний гаусдорфів простір
• Простір Стоуна
• є прикладом зв'язного простору, який при видаленні лише однієї точки стає цілком незв'язним
• Простір Ердоша ℓ²${\displaystyle \,\cap \,\mathbb {Q} ^{\omega }}$ є прикладом одновимірного цілком незв'язного простору.

Властивості

• Підпростори, добутки і кодобуток цілком незв'язних просторів є цілком незв'язними.
• Цілком незв'язні простори є T₁-просторами у випадку, якщо усі точки є замкнутими.
• При неперервному відображенні образ цілком незв'язного простору може не бути цілком незв'язним. Наприклад будь-який компактний метричний простір є образом множини Кантора.
• Локально компактний гаусдорфів простір є нульвимірним тоді і тільки тоді, коли він є цілком незв'язним.
• Будь-який цілком незв'язний компактний метричний простір є гомеоморфним підмножині зліченного добутку дискретних просторів.
• У загальному не вірно, що будь-яка відкрита підмножина цілком незв'язного простору є також замкнутою. Це не так, наприклад, у просторі раціональних чисел із топологією породженою стандартною метрикою. Тоді будь-яка множина ${\displaystyle (a,b)}$ де ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$ і a < b є відкритою але не замкнутою.
• У загальному не вірно, що у цілком незв'язному просторі замикання відкритої множини є відкритою множиною, тобто не кожен цілком незв'язний гаусдорфів простір є екстремально незв'язним. Контрприкладом може бути стрілка Зоргенфрея.

Конструювання незв'язного простору

Нехай ${\displaystyle X}$ — довільний топологічний простір. Нехай ${\displaystyle x\sim y}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle y\in \mathrm {conn} (x)}$ (де ${\displaystyle \mathrm {conn} (x)}$ позначає максимальну зв'язану підмножину, що містить ${\displaystyle x}$). Очевидно, відношення ${\displaystyle \sim }$ є відношенням еквівалентності, отже можна побудувати відповідний факторпростір ${\displaystyle X/{\sim }.}$ Топологія на ${\displaystyle X/{\sim }}$ природним чином визначається топологією на ${\displaystyle X,}$ а саме, відкритими підмножинами ${\displaystyle X/{\sim }}$ є ті множини класів еквівалентності, прообраз яких при відображенні факторизації є відкритим в ${\displaystyle X.}$

Простір ${\displaystyle X/{\sim }}$ є цілком незв'язним. Справді, позначимо ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ — відображення факторизації і припустимо, що ${\displaystyle X/{\sim }}$ не є цілком незв'язним. Тобто існує компонента зв'язності ${\displaystyle M\subset X/\sim ,}$ що містить дві різні точки ${\displaystyle [x]}$ і ${\displaystyle [y]}$. Як компонента зв'язності ${\displaystyle M}$ є замкнутою множиною, як і множина ${\displaystyle q^{-1}(M),}$ що містить компоненти ${\displaystyle [x]}$ і ${\displaystyle [y]}$. Оскільки ${\displaystyle [x]}$ і ${\displaystyle [y]}$ є різними компонентами зв'язності, то ${\displaystyle q^{-1}(M)}$ не є зв'язаною множиною і тому існують дві відкриті непусті підмножини ${\displaystyle U,V\subset q^{-1}(M)}$ із пустим перетином для яких ${\displaystyle U\cup V=q^{-1}(M).}$

Також ${\displaystyle q^{-1}(q(U))=U}$, оскільки якщо ${\displaystyle u\in q^{-1}(q(U))}$ тоді ${\displaystyle q(u)=q(u')}$ для деякого ${\displaystyle u'\in U}$. Тобто ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle u'}$ належать одній компоненті зв'язності ${\displaystyle C=q^{-1}(\{u\})\subseteq q^{-1}(M)}$. Оскільки ${\displaystyle C=(C\cap U)\cup (C\cap V)}$ і ${\displaystyle C\cap U\neq \emptyset }$, то ${\displaystyle C\cap V=\emptyset }$ і ${\displaystyle C\subseteq U}$.

Відповідно ${\displaystyle M=q(U)\cup q(V)}$ де ${\displaystyle q(U)}$, ${\displaystyle q(V)}$ є непустими відкритими множинами із пустим перетином. Тобто ${\displaystyle M}$ не може бути зв'язаною множиною.

Також виконується універсальна властивість: якщо ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ є неперервним відображенням у цілком незв'язний простір, то воно єдиним чином задається у вигляді ${\displaystyle f={\breve {f}}\circ q,}$ де відображення ${\displaystyle {\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y}$ є неперервним, а ${\displaystyle q}$ — відображення факторизації.

Література

• Willard, Stephen (2004), General topology, Dover Publications, ISBN , MR 2048350