Клин | |
---|---|
![]() | |
Властивості | Опуклий |
Елементи | 6 граней 9 ребер 6 вершин (3-го степеня) |
Характеристика Ейлера |
|
Грані | 2 трикутники 3 трапеції |
Клин у геометрії (англ. wedge) — це опуклий багатогранник, що складається з п'яти граней: двох трикутників і трьох трапецій . Клин має 9 ребер і 6 вершин. Верхнє ребро клину паралельне основі.
Клин є підкласом призматоїдів, якщо розглядати верхнє ребро як вироджену грань (у призматоїдів дві грані є паралельними).
Порівняння з іншими багатогранниками:
- Якщо одна грань паралелепіпеда вироджується у відрізок, отримається клин.
- Піраміда ,основа якої - трапеція (зокрема і паралелогам, прямокутник, квадрат) є клином, в якому одне з ребер вироджене в точку.
- Клин можна розглядати як трикутну зрізану призму.
- Трикутна призма є окремим випадком клина з двома паралельними трикутними гранями.
Часткові випадки
Вид клина | Грані | Зображення | Опис |
---|---|---|---|
Правильний клин (правильногранний клин) | 3 квадрата 2 правильних трикутника | ![]() | - клин, всі грані якого - правильні багатокутники, всі ребра - однакової довжини. Багатогранник можна розглядати як правильну трикутну призму. Симетрія: [en], [3,2], (*223) порядок 12 (Діедральна симетрія 3-призми) Має вісь симетрії 3-го порядку та три осі симетрії 2-го порядку; чотири площини симетрії. Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата). |
Прямий клин | Основа: 1 прямокутник Бокові грані: | ![]() | - клин, основа якого - прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані прямокутники та рівнобедрені трикутники. Трикутні грані перпендикулярні до основи. Багатогранник можна розглядати як пряму трикутну призму з основою- рівнобедрений трикутник. Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії. Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і прямокутника). |
Скошений прямий клин | Основа: 1 прямокутник Бокові грані: | ![]() | - клин, основа якого - прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані рівнобедрені трапеції та рівнобедрені трикутники. Трикутні грані однаково нахилені до основи. |
Формули
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
Об'єм довільного клина можна обрахувати за фомулою об'єма для двічі скошеної прямої трикутної призми :
де ,
,
- довжини паралельних ребер клина.
- площа перерізу, перпендикулярного до цих ребер.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
Для скошеного прямого клина справедливі формули:
Об'єм:
(формула справедлива для будь-якого клина з прямокутною основою.)
Площа поверхні:
Центр тяжіння лежить на осі клина на відстані від його основи.
тут ,
- довжини ребер прямокутної грані клина.
- довжина верхнього ((апексного)) ребра, паралельного основі.
- висота, відстань від верхнього ребра клина до його основи.
Для прямого клина (при ) формули спрощуються до:
,
,
Приклади
Клини можна отримати розрізанням інших багатогранників. Наприклад, додекаедр можна розбити на центральный куб і 6 прямих клинів з квадратною основою, що покривають грані куба. Орієнтації клинів обираються так, що трикутні і трапецевидні грані сполучаються й утворюють правильні п'ятикутники.
Два тупих клини можна отримати при розрізанні навпіл правильного тетраедра площиною, яка є паралельною до двох протилежних сторін.
![]() Трикутна призма (Паралельний трикутний клин) | ![]() Тупокутний клин як зрізаний наполовину правильний тетраедр | ![]() Клин, побудований з 8-ми трикутних граней і 2-х квадратів. Його можна розглядати як тетраедр, нарощений двома квадратними пірамідами. | ![]() Додекаедр можна роскласти на центральний куб і 6 клинів на його 6-ти квадратних гранях. |
Пов'язані багатогранники
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelF3THlWRU1DVTVSU1ZFTUNWQ01TVkVNQ1ZDTlNWRU1DVkNRaVZFTVNVNU5pVkVNU1U0TVNWRU1DVkNRVjhsTWpnbFJEQWxRak1sUkRBbFFqVWxSREFsUWtVbFJEQWxRa01sUkRBbFFqVWxSREVsT0RJbFJERWxPREFsUkRFbE9UWWxSREVsT0VZbE1qa3VjRzVuTHpNMU5YQjRMU1ZFTUNVNVJTVkVNQ1ZDTVNWRU1DVkNOU1ZFTUNWQ1FpVkVNU1U1TmlWRU1TVTRNU1ZFTUNWQ1FWOGxNamdsUkRBbFFqTWxSREFsUWpVbFJEQWxRa1VsUkRBbFFrTWxSREFsUWpVbFJERWxPRElsUkRFbE9EQWxSREVsT1RZbFJERWxPRVlsTWprdWNHNW4ucG5n.png)
Обеліск (Зрізаний прямий клин) – багатогранник у якого нижня та верхня основи є прямокутниками, розташованими в паралельних площинах; протилежні бічні грані (конгруентні рівнобедрені трапеції) однаково нахилені до основи, але не перетинаються.
Об'єм багатогранника можна обрахувати за формулою:
Джерела
Посилання
Примітки
- Понарин Я. П. (2006). Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 2: Стереометрия, преобразования пространства (рашистська) . Москва: Издательство МЦНМО. с. с.100. ISBN .
{{}}
:|pages=
має зайвий текст () - Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. (1981). Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов (рашистська) . Москва: Наука. с. 222.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет