Трикутна матриця

Трику́тна ма́триця — квадратна матриця, всі елементи якої нижче або вище від головної діагоналі дорівнюють нулю.

Верхньотрикутна матриця — квадратна матриця, всі елементи якої нижче від головної діагоналі дорівнюють нулю.

Нижньотрикутна матриця — квадратна матриця, всі елементи якої вище від головної діагоналі дорівнюють нулю.

Унітрикутна матриця — трикутна матриця, діагональні елементи якої дорівнюють одиниці.

Матриця виду

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&\ldots &u_{1,n}\\0&u_{2,2}&\ldots &u_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &u_{n,n}\end{bmatrix}}}$

називається верхньотрикутною матрицею, а матриця виду

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}l_{1,1}&0&\ldots &0\\l_{2,1}&l_{2,2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n}\end{bmatrix}}}$

називається нижньотрикутною матрицею. Змінна U (від англ. upper) звичайно використовується для позначення верхньотрикутної матриці, а змінна L (від англ. lower) — нижньотрикутної. Матриця, що є одночасно і верхньотрикутною, і нижньотрикутною, називається діагональною.

Властивості

Теорема (про приведення матриць до трикутного вигляду). Будь-яку ненульову матрицю ${\displaystyle \ a_{n\times n}}$ шляхом елементарних перетворень над рядками і перестановкою стовпців можна привести до трикутного вигляду.

Трикутні матриці використовуються насамперед при розв'язку лінійних систем рівнянь, коли матриця системи (в процесі прямого ходу) зводиться до трикутного вигляду. Вирішення систем лінійних рівнянь з трикутною матрицею (зворотний хід) не представляє складнощів. Основні властивості:

• Визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів.
• Визначник унітрикутної матриці дорівнює одиниці.
• Власні числа трикутної матриці — це елементи головної діагоналі.
• Множина невироджених верхньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається ut(n, k) або ut_n (k).
• Множина невироджених нижньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається lt(n, k) або lt_n (k).
• Множина верхніх унітрикутних матриць з елементами з поля k утворює підгрупу ut_n (k) по множенню, яка позначається sut(n, k) або sut_n (k). Аналогічна підгрупа нижніх унітрикутних матриць позначається slt(n, k) або slt_n (k).
• Множина всіх верхньотрикутних матриць з елементами з кільця до утворює підалгебру алгебри квадратних матриць. Аналогічне твердження справедливе для нижньотрикутних матриць.
• Група ut_n вирішувана, а її унітрикутна підгрупа sut_n нільпотентна.

Пряме та зворотне підставляння

Матричне рівняння у вигляді ${\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$ або ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$ дуже легко розв'язати за допомогою ітеративного процесу відомого як пряме підставляння для нижньотрикутних матриць і, аналогічно, зворотне підставляння для верхньотрикутних мариць.

Пряме підставляння

Матричне рівняння Lx = b можна записати як систему лінійних рівнянь

${\displaystyle {\begin{matrix}l_{1,1}x_{1}&&&&&=&b_{1}\\l_{2,1}x_{1}&+&l_{2,2}x_{2}&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &\ddots &&&\vdots \\l_{m,1}x_{1}&+&l_{m,2}x_{2}&+\dotsb +&l_{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

Зауважимо те, що перше рівняння (${\displaystyle l_{1,1}x_{1}=b_{1}}$) містить лише ${\displaystyle x_{1}}$, отже його можна розв'язати для ${\displaystyle x_{1}.}$ Друге рівняння містить лише ${\displaystyle x_{1}}$ і ${\displaystyle x_{2},}$ отже його можна розв'язати підставивши вже отримане значення для ${\displaystyle x_{1}}$. Продовжуючи таким чином, ${\displaystyle k}$-те рівняння містить лише ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$, і його можна розв'язати щодо ${\displaystyle x_{k},}$ використовуючи попередньо отримані значення ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}.}$

У результаті маємо таку формулу:

${\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{l_{1,1}}},}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {b_{2}-l_{2,1}x_{1}}{l_{2,2}}},}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{m}={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}l_{m,i}x_{i}}{l_{m,m}}}.}$

Матричне рівняння для верхньотрикутної матриці ${\displaystyle U}$ можна розв'язати аналогічно, лише в зворотньому порядку.

Див. також

• Система лінійних рівнянь алгебри
• Елементарні перетворення матриці
• Матриця Гессенберга

Примітки

1. Булдигін, 2011, с. 10.
2. The Cayley-Hamilton Theorem

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• В. В. Булдигін, І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Н. Р. Коновалова, Л. Б. Федорова. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. — Київ : ТВіМС, 2011. — 224 с.