Матриця Гессенберга

У лінійній алгебрі, матриця Гессенберга — це такий тип квадратної матриці, що «майже» трикутний. Щоб бути точним, верхня матриця Гессенберга має нульові елементи нижче першої (піддіагоналі), а нижня матриця Гессенберга має нульові елементи вище першої наддіагоналі. Вони названі на честь .

Наприклад:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&2&3\\3&4&1&7\\0&2&3&4\\0&0&1&3\\\end{bmatrix}}}$

є верхньою матрицею Гессенберга і

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&0&0\\5&2&3&0\\3&4&3&7\\5&6&1&1\\\end{bmatrix}}}$

— нижньою.

Комп'ютерне програмування

Багато алгоритмів лінійної алгебри потребують значно менше ресурсів для обчислення у разі застосування до трикутних матриць, і це часто відбувається і з матрицями Гессенберга. Якщо обмеження задачі не дозволяють звести до трикутною форми, то можна спробувати звести до форми Гессенберга.

Властивості

Добуток матриці Гессенберга з трикутною матрицею є матрицею Гессенберга. Точніше, якщо A є верхньою матрицею Гессенберга, а T є верхньою трикутною матрицею, тоді AT і TA будуть верхніми матрицями Гессенберга.

Якщо матриця одночасно верхня і нижня Гессенберга, тоді вона тридіагональна матриця.

Джерела

• , . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Weisstein, Eric W. Матриця Гессенберга(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Примітки

1. Horn та Johnson, (1985), page 28; Stoer та Bulirsch, (2002), page 251
2. Biswa Nath Datta (2010) Numerical Linear Algebra and Applications, 2nd Ed., Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) , p. 307