Теорема Ріба про сферу

Теорема Ріба про сферу: Нехай на замкнутому (орієнтованому) зв'язному многовиді Mⁿ існує , всі особливі точки якого ізольовані та є центрами. Тоді Mⁿ гомеоморфний сфері Sⁿ, та розшарування має рівно дві особливі точки.

Теорема доведена у 1946 році французьким математиком Жоржем Рібом.

Морсовське шарування

Ізольована особлива точка шарування F називається точкою морсовського типу, якщо в її малому околі всі шари є (рівнями) деякої функції Морса, а сама вона є критичною точкою цієї функції.

Особлива точка морсовського типу називається центром, якщо вона є локальним екстремумом функції; в супротивному випадку вона називається сідловою точкою.

Позначимо ind p = min(k, n − k), індекс особливості ${\displaystyle p}$, де k — індекс відповідної критичної точки морсовської функції. Зокрема, центр має індекс 0, индекс сідла принаймні 1.

Морсовське шарування F на многовиді M це трансверсально (орієнтоване) шарування корозмірності 1 класу C² з ізольованими особливостями, причому:

• всі особливості F морсовського типу,
• кожний особливий шар L містить лише одну зв'язну особливу точку p; при цьому, якщо ind p = 1 то ${\displaystyle L\setminus p}$ незв'язно.

Нехай c — число центрів морсовського шарування F, і ${\displaystyle s}$ — число його сідлових точок, виявляється, що різниця c − s тісно пов'язана з топологією многовиду ${\displaystyle M}$.

Теорема Ріба про сферу

Розглянемо випадок c > s = 0, тобто всі особливості є центрами, сідлових точок немає.

Теорема: Нехай на замкнутому орієнтованому зв'язному многовиді ${\displaystyle M^{n}}$ розмірності ${\displaystyle n\geq 2}$ існує ${\displaystyle C^{1}}$-трансверсально орієнтоване шарування ${\displaystyle F}$ з непорожньою множиною ізольованих особливих точок, що всі є центрами. Тоді шарування ${\displaystyle F}$ має рівно дві особливі точки, і многовид ${\displaystyle M^{n}}$ гомеоморфний сфері ${\displaystyle S^{n}}$.

Цей факт є наслідком теореми Ріба про стійкість.

Див. також

• Теорема про сферу (диференціальна геометрія)

Примітки

1. G. Reeb, Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une fonction numérique. — C.R.A.S. Paris 222, 1946, pp. 847—849.[1] [ 9 березня 2016 у Wayback Machine.]