4-прискорення

4-прискорення (чотири-прискорення, чотириприскорення) в релятивістській кінематиці — чотиривектор, що узагальнює класичне прискорення і визначений як похідна 4-швидкості за власним часом частинки:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\quad \gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )}{c}},\quad \gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} \right)}{c^{2}}}\mathbf {u} \right),}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={d\mathbf {u} \over dt}}$ — 3-прискорення,

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {u} /c}$ — безрозмірнісна 3-швидкість,

${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}$

і ${\displaystyle \gamma _{u}}$ — лоренц-фактор для 3-швидкості u. Крапка над змінною означає похідну за координатним часом у цій системі відліку, а не за власним часом ${\displaystyle \tau .}$

У миттєвій супутній інерційній системі відліку ${\displaystyle \mathbf {u} =0,}$ ${\displaystyle \gamma _{u}=1}$ і ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}=0,}$ тобто в такій системі відліку

${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right).}$

Геометрично 4-прискорення є вектором кривини світової лінії.

Таким чином, модуль 4-прискорення (який є інваріантним скаляром) дорівнює власному прискоренню, яке «відчуває» частинка, що рухається вздовж своєї світової лінії. Світові лінії, що мають постійну величину 4-прискорення, є колами Мінковського, тобто гіперболами (див. Гіперболічний рух).

Навіть за релятивістських швидкостей 4-прискорення пов'язане з 4-силою, що діє на частинку, формулою, що узагальнює класичний другий закон Ньютона:

${\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu };}$

де m — маса частинки.

Скалярний добуток 4-швидкості та відповідного 4-прискорення завжди дорівнює нулю. Це легко побачити, продиференціювавши тотожність ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} \equiv c^{2}}$ за власним часом: ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} )=2{\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}\cdot \mathbf {U} =2\mathbf {A} \cdot \mathbf {U} \equiv {\frac {d}{d\tau }}c^{2}=0.}$ Отже, 4-прискорення та співнапрямлена з нею відповідна 4-сила, що діють на частинку, завжди ортогональні її 4-швидкості (і співнапрямленому з 4-швидкістю 4-імпульсу ${\displaystyle p^{\mu }=mU^{\mu }}$) — на відміну від класичної механіки.

У загальній теорії відносності компоненти чотиривектора прискорення пов'язані з компонентами 4-швидкості коваріантною похідною за власним часом:

${\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$

(Γ^λ_μν — символи Крістофеля).

У спеціальній теорії відносності координати зазвичай виражають у прямолінійній інерційній системі відліку, так що член із символами Крістофеля зникає, але іноді, коли автори для опису прискореної системи використовують криволінійні координати, система відліку не є інерційною, але фізика все одно залишається спецрелятивістською, оскільки метрика є просто координатним перетворенням метрики простору Мінковського. У такому разі слід використати наведений вище вираз, оскільки тут не всі символи Крістофеля дорівнюють нулю.

Коли 4-сила дорівнює нулю, на частинку діє тільки гравітація, і чотиривекторна версія другого закону Ньютона (див. вище) зводиться до рівняння геодезичної. Частинка, що здійснює геодезичний рух, має нульове значення для кожного компонента 4-вектора прискорення. Це узгоджується з тим, що гравітація не є силою.

Див. також

• 4-вектор
• 4-імпульс
• 4-сила
• 4-швидкість
• Прискорення

Примітки

1. Pauli W. Theory of Relativity. — 1981 Dover. — B.G. Teubner, Leipzig, 1921. — С. 74. — .
2. Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. — 1978 Dover. — , 1949. — С. 149, 153 and 170. — .

Література

• Pauli W. Theory of Relativity. — republished in 1981 Dover. — B.G. Teubner, Leipzig, 1921. — .
• Papapetrou A. Lectures on General Relativity. — ^[en], 1974. — .
• Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). — Oxford: Oxford University Press, 1991. — .
• Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. — republished in 1978 Dover. — ^[en], 1949. — .