4-швидкість

У фізиці, зокрема в спеціальній і загальній теоріях відносності, 4-швидкість (або чотиришвидкість) — 4-вектор у чотиривимірному просторі-часі, релятивістський аналог швидкості, яка є тривимірним вектором у просторі.

Фізичні події відповідають математичним точкам у часі та просторі, сукупність яких разом утворює математичну модель фізичного чотиривимірного простору-часу. Історія об'єкта відстежує криву в просторі-часі, називану його світовою лінією. Якщо об'єкт має ^[en], а отже його швидкість обов'язково менша за швидкість світла, світову лінію можна параметризувати власним часом об'єкта. 4-швидкість — це швидкість зміни 4-положення відносно власного часу вздовж кривої. Швидкість, навпаки, — це швидкість зміни положення об'єкта в (тривимірному) просторі, як його бачить спостерігач, відносно часу спостерігача.

Величина 4-швидкості об'єкта, тобто величина, отримана застосуванням метричного тензора g до 4-швидкості U, тобто ${\displaystyle \lVert {\mathbf {U}}\rVert ^{2}={\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}}=g_{\mu \gamma }U^{\gamma }U^{\mu }}$, завжди дорівнює ±c², де c — швидкість світла. Застосування знака плюс чи мінус залежить від вибору метричної сигнатури. Для нерухомого об'єкта його 4-швидкість паралельна напрямку координати часу з U⁰ = c. Отже, 4-швидкість — нормалізований напрямлений у майбутнє часоподібний дотичний вектор до світової лінії та є контраваріантний вектор. Хоча це вектор, додавання двох 4-швидкостей не дає 4-швидкості: простір 4-швидкостей сам по собі не є векторним простором.

Швидкість

Шлях об'єкта в тривимірному просторі (в інерційній системі відліку) можна виразити через три функції просторової координати xⁱ(t) від часу t, де i — індекс, який набуває значень 1, 2, 3.

Три координати утворюють тривимірний радіус-вектор, який можна записати як вектор-стовпець

$${\displaystyle {\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\[0.7ex]x^{2}(t)\\[0.7ex]x^{3}(t)\end{bmatrix}}\,.}$$

Складові швидкості ${\displaystyle {\vec {u}}}$ (дотичної до кривої) в будь-якій точці світової лінії дорівнюють

$${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.}$$

Кожна складова записується просто

$${\displaystyle u^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}}$$

Теорія відносності

У теорії відносності Ейнштейна шлях об'єкта, що рухається відносно певної системи відліку, визначають чотири функції координат x^μ(τ), де μ — індекс простору-часу, який має значення 0 для часоподібної складової, та 1, 2, 3 для простороподібних координат. Нульова складова визначається як часова координата, помножена на c,

$${\displaystyle x^{0}=ct\,,}$$

Кожна функція залежить від одного параметра τ, який називають її власним часом. Як вектор-стовпець:

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.}$$

Уповільнення часу

З уповільненням часу диференціали ^[en] t і власного часу τ пов'язані між собою

$${\displaystyle dt=\gamma (u)d\tau }$$

де фактор Лоренца ,

$${\displaystyle \gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,}$$

є функцією евклідової норми u тривимірного вектора швидкості ${\displaystyle {\vec {u}}}$:

$${\displaystyle u=\left\|\ {\vec {u}}\ \right\|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.}$$

Визначення 4-швидкості

4-швидкість — 4-вектор, дотичний до ^[en] світової лінії. 4-швидкість ${\displaystyle \mathbf {U} }$ в будь-якій точці світової лінії ${\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}$ визначається як:

$${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}}$$

де ${\displaystyle \mathbf {X} }$ — 4-положення, ${\displaystyle \tau }$ — власнний час.

4-швидкість, визначена тут за допомогою власного часу об'єкта, не існує для світових ліній безмасових об'єктів, таких як фотони, що рухаються зі швидкістю світла; також її не визначено для тахіонних світових ліній, де дотичний вектор простороподібний.

Складові 4-швидкості

Зв'язок між часом t і часовою координатою x⁰ визначається формулою

$${\displaystyle x^{0}=ct.}$$

Взявши похідну від за власним часом τ, знаходимо складову швидкості U^μ для μ = 0:

$${\displaystyle U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt}{d\tau }}=c\gamma (u)}$$

і для інших 3 складових за власним часом отримуємо складові швидкості U^μ для μ = 1, 2, 3:

$${\displaystyle U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}}$$

де ми використали правило диференціювання складеної функції та зв'язки

$${\displaystyle u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (u)}$$

Таким чином, знаходимо для 4-швидкості ${\displaystyle \mathbf {U} }$:

$${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.}$$

У стандартній 4-векторній нотації це:

$${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)}$$

де ${\displaystyle \gamma c}$ — часова складова, ${\displaystyle \gamma {\vec {u}}}$ — просторова складова.

З точки зору синхронізованих годинників і лінійок, пов'язаних із певною ділянкою плоского простору-часу, три простороподібні складові 4-швидкості визначають ^[en] рухомого об'єкта ${\displaystyle \gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau }$, тобто швидкість, з якою відстань долається в еталонній системі відліку за одиницю власного часу, що минув на годиннику, який рухається з об'єктом.

На відміну від більшості інших 4-векторів, 4-швидкість має не 4, а лише 3 незалежні складові ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$. Коефіцієнт ${\displaystyle \gamma }$ є функцією тривимірної швидкості ${\displaystyle {\vec {u}}}$.

Коли деякий ^[en] помножити на 4-швидкість, то отримаємо новий фізичний 4-вектор, який має 4 незалежні складові.

Наприклад:

• 4-імпульс:

${\displaystyle {\mathbf {P}}=m_{0}{\mathbf {U}}=\gamma m_{0}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{\vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right),}$

де ${\displaystyle m_{o}}$ — (маса спокою)

• Густина 4-струму:

${\displaystyle {\mathbf {J}}=\rho _{0}{\mathbf {U}}=\gamma \rho _{0}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right)}$

Фактично, коефіцієнт ${\displaystyle \gamma }$ поєднується зі скалярним членом Лоренца і утворює 4-ту незалежну складову

$${\displaystyle m=\gamma m_{o}}$$

і

$${\displaystyle \rho =\gamma \rho _{o}.}$$

Величина

Використовуючи диференціал 4-положення в системі спокою, за допомогою метрики Мінковського зі сигнатурою (−, +, +, +) можна отримати величину 4-швидкості:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=-c^{2}\,,}$$

Коротше кажучи, величина 4-швидкості будь-якого об'єкта завжди є фіксованою сталою:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=-c^{2}}$$

У рухомій системі відліку така сама норма:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$

так що:

$${\displaystyle -c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$

що зводиться до визначення фактора Лоренца.

Див. також

• 4-прискорення
• 4-імпульс
• 4-сила
• ^[en]
• Гіперболоїдна модель
• Стрімкість

Виноски

Коментарі

1. Технічно чотиривектор слід розглядати як такий, що міститься в дотичному просторі точки простору-часу, а сам простір-час моделюється як гладкий многовид. Ця особливість важлива в загальній теорії відносності.
2. Множина чотиришвидкостей є підмножиною дотичного простору (який є векторним простором) у події. Назва чотиривектор випливає з поведінки під час перетворень Лоренца, а саме під яким конкретним вони перетворюються.

Примітки

1. McComb, W. D. (1999). Dynamics and relativity. Oxford [etc.]: Oxford University Press. с. 230. ISBN .

Література

• Einstein, Albert (1920). Relativity: The Special and General Theory. New York: Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995.
• Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN .