Характеристична підгрупа

Характеристична підгрупа — підгрупа, інваріантна відносно всіх автоморфізмів групи. Тобто підгрупа ${\displaystyle H\leqslant G}$ є характеристичною, якщо для кожного автоморфізму ${\displaystyle \varphi \colon G\to G}$ групи ${\displaystyle G}$ і для кожного елемента ${\displaystyle h\in H}$ виконується ${\displaystyle \varphi (h)\in H}$.

Властивості

• Якщо підгрупа є характеристичною, вона є нормальною, зворотне твердження невірне.

Наприклад якщо група G є прямим добутком H × H, то підгрупи {1} × H і H × {1} є нормальними, але не є характеристичними (зокрема не є інваріантними щодо автоморфізму (x, y) → (y, x))

• Якщо N є нормальною підгрупою групи G, а A є характеристичною підгрупою групи N, то Aє нормальною підгрупою групи G.

Для деякого ${\displaystyle g\in G}$ визначимо таким чином: ${\displaystyle \varphi _{g}(h)=g^{-1}hg.}$ Оскільки група N нормальна то за означенням маємо, що ${\displaystyle \varphi (N)=N}$ тобто ${\displaystyle \varphi _{g}}$ є автоморфізмом групи N. Відповідно оскільки A є характеристичною підгрупою групи N то вона інваріантна щодо усіх таких ${\displaystyle \varphi _{g}}$ тобто є нормальною.

• Якщо N є характеристичною підгрупою групи G, і A є характеристичною підгрупою групи N, то іAє характеристичною підгрупою групи G.

Доводиться ідентично до попереднього з заміною ${\displaystyle \varphi _{g}}$ на довільний автоморфізм.

Приклади

• Будь-яка підгрупа циклічної групи характеристична.
• Центр групи є характеристичною підгрупою.

Дійсно нехай ${\displaystyle \varphi \colon G\to G}$ деякий автоморфізм групи і ${\displaystyle x\in Z(g)}$ деякий елемент, що належить центру групи. Тоді ${\displaystyle \varphi (x)\varphi (g)=\varphi (xg)=\varphi (gx)=\varphi (g)\varphi (x),\forall g\in G}$ і оскільки ${\displaystyle G=\{\varphi (g)|g\in G\}}$ то маємо ${\displaystyle \varphi (g)\in Z(G)}$.

• Підгрупа Фраттіні, що визначається як перетин всіх максимальних підгруп, є характеристичною підгрупою.
• Норма групи

Див. також

• Нормальна підгрупа

Джерела

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)