Теорема Енна

В Евклідовій геометрії Теорема Енна ^{:стор.1, теорема1} описує рівність певних площ у опуклому чотирикутнику.

Суми площ протилежних трикутників рівні, тобто ${\displaystyle |\triangle BCL|+|\triangle DAL|=}$ ${\displaystyle |\triangle LAB|+|\triangle DLC|}$

Названа на честь французького математика П'єра-Леона Анна (Енна) (1806—1850).

Опис

В теоремі зазначено: ^{:стор.1, теорема1}, ^{:стор.174 :стор.95},

Нехай ABCD — опуклий чотирикутник з діагоналями AC і BD, який не є паралелограмом. Точки E, F — середини цих діагоналей, а L — довільна точка всередині ABCD.

Якщо сполучити L з вершинами чотирикутника, утвориться чотири трикутники ALB, BLC, CLD та DLA. Якщо дві суми площ протилежних трикутників рівні, тоді точка L знаходиться на прямій Ньютона, тобто лінії, яка з'єднує E і F.

Існує багато доказів цієї теореми. Наступний доказ належить австралійському математику Безілу Ренні. ^{:стор.175}

Доведення  

Нехай L(x, y) — довільна точка де-якого геометричного місця в будь-якій зручній декартовій системі відліку, пов'язаній з чотирикутником.

Тепер, площі трикутників з нерухомою основою і рухомою вершиною (x, y), є лінійними функціями від координат x та y (що визначають висоти цих трикутників). Якщо вершина спільна для двох трикутників, їх загальна площа все одно є лінійною функцією координат рухомої вершини. Таким чином, умова, що визначає геометричне місце точок L, задається лінійним рівнянням.

Відповідно, геометричне місце має бути обмежене деякою прямою.

А оскільки медіана трикутника ділить його площу навпіл, то чітко видно, що середини діагоналей ABCD лежать на даному геометричному місці, з чого випливає висновок: дане геометричне місце — пряма, що сполучає середини діагоналей чотирикутника.

Отже, згідно теореми Енна: S_ΔBCL+S_ΔDAL=S_ΔLAB+S_ΔDLC, якщо точка L знаходиться на прямій Ньютона, тобто лінії, яка з'єднує середини діагоналей E і F чотирикутника.

Прямої Ньютона не існує для паралелограма, оскільки його діагоналі діляться навпіл точкою перетину. А тотожність площ виконується для будь-якої внутрішньої точки паралелограма.

Для описаного чотирикутника, теорема Ньютона є прямим наслідком теореми Енна. ^:стор.99

Теорема Енна є оборотною. ^{:стор.2, теорема 2} Тобто якщо точка лежить на відрізку лінії Ньютона, що знаходиться всередині чотирикутника, то виконується рівність сум площ зазначених трикутників.

Примітки

1. Andrew Jobbings, 2013.
2. Ross Honsberger, 1991.
3. Hans Humenberger, 2019.

Джерела

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, , pp. 116–117 (online copy, с. 116, на «Google Books»)
• Ross Honsberger. More Mathematical Morsels. — Cambridge University Press, 1991. — С. 322: стор 174-175. — . online copy, с. 174, на «Google Books»

• Jobbings, Andrew (2013), The Converse of Leon Anne's Theorem[ 2014-03-04 у Wayback Machine.]

• Humenberger, Hans; Schuppar, Berthold (2019), Balanced areas in quadrilaterals – Anne’s Theorem and its unknown origin, т. 17/1, Teaching Mathematics and Computer Science, с. 93—103, doi:10.5485/TMCS.2019.0462

Посилання

• Newton's and Léon Anne's Theorems at cut-the-knot.org
• Weisstein, Eric W. Leon Anne's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.