Теорема Громова про компактність (ріманова геометрія)

Теорема Громова про компактність або теорема вибору Громова стверджує, що множина ріманових многовидів даної розмірності з кривиною Річчі ≥ c і діаметром ≤ D є відносно компактною в метриці Громова — Гаусдорфа .

Історія

Теорему довів Громов, у доведенні використано нерівність Бішопа — Громова.

Поява цієї теореми підштовхнула вивчення александрівських просторів обмеженої знизу кривини в розмірностях 3 і вище і, пізніше, узагальнених просторів з обмеженою знизу кривиною Річчі.

Варіації та узагальнення

• Теорема є узагальненням теореми Маєрса.

Теорема Громова — наслідок такого твердження:

• будь-яке універсально цілком обмежене сімейство метричних просторів є відносно компактним у метриці Громова — Гаусдорфа.
  • Сімейство ${\displaystyle X}$ метричних просторів називається універсально цілком обмеженим, якщо для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує ціле додатне число ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ таке, що будь-який простір з ${\displaystyle X}$ допускає ${\displaystyle \varepsilon }$-мережу з не більше ніж ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ точок.

Див. також

• Теорема вибору Бляшке

Примітки

1. Gromov, Mikhael (1981), Structures métriques pour les variétés riemanniennes, Textes Mathématiques [Mathematical Texts], т. 1, Paris: CEDIC, ISBN , MR 0682063

Література

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — .