Теорема Маєрса

Теорема Маєрса — класична теорема в рімановій геометрії.

Формулювання

Якщо кривина Річчі повного ${\displaystyle n}$-вимірного ріманового многовиду ${\displaystyle M}$ обмежена знизу додатною величиною ${\displaystyle (n-1)k}$ при деякому ${\displaystyle k}$, то його діаметр не перевищує ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$. Більш того, якщо діаметр дорівнює ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$, то сам многовид ізометричний сфері сталої секціонної кривини ${\displaystyle k}$.

Наслідки

Цей результат залишається в силі для універсального накриття такого Ріманового многовиду ${\displaystyle M}$.

Історія

Аналогічний результат для секційної кривини був доведений раніше Бонне.

Теорема доведена Маєрсом. Випадок рівності в теоремі був доведений Ченгом в 1975 році.

Див. також

• Теорема Громова про компактність (ріманова геометрія)

Примітки

1. Myers, S. B. (1941), Riemannian manifolds with positive mean curvature, Duke Mathematical Journal, 8 (2): 401—404, doi:10.1215/S0012-7094-41-00832-3
2. Cheng, Shiu Yuen (1975), Eigenvalue comparison theorems and its geometric applications, , 143 (3): 289—297, doi:10.1007/BF01214381, ISSN 0025-5874, MR 0378001