Теорема Єгорова

Теорема Єгорова (теорема Северіні — Єгорова) — твердження в теорії міри про зв'язок збіжності майже всюди і рівномірної збіжності.

Твердження теореми

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {S}},\mu )}$ — вимірний простір, в ${\displaystyle E}$ — підмножина ${\displaystyle X}$ скінченної міри. Якщо послідовність ${\displaystyle f_{n}}$ вимірних функцій збігається майже всюди до функції ${\displaystyle f}$, тоді для довільного числа ${\displaystyle \delta >0}$ існує множина ${\displaystyle E_{\delta }}$ така що ${\displaystyle \mu (E_{\delta })<\delta }$ і збіжність ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$ є рівномірною на доповненні ${\displaystyle E-E_{\delta }}$.

Доведення

Нехай ${\displaystyle E_{i,j}=\{x\in E:|f_{j}(x)-f(x)|<1/i\}.}$ Оскільки ${\displaystyle f_{n}\to f}$ майже всюди, існує множина ${\displaystyle S}$ для якої ${\displaystyle \mu (S)=0}$ і для ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ і ${\displaystyle x\in E-S}$ існує таке ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,}$ що з ${\displaystyle j>m}$ випливає ${\displaystyle |f_{j}(x)-f(x)|<1/i}$. Це можна записати як:

${\displaystyle E-S\subset \cup _{m\in \mathbb {N} }\cap _{j>m}E_{i,j},}$

або еквівалентно,

${\displaystyle \cap _{m\in \mathbb {N} }\cup _{j>m}(E-E_{i,j})\subset S.}$

Оскільки ${\displaystyle \{\cup _{j>m}(E-E_{i,j})\}_{m\in \mathbb {N} }}$ є спадною послідовністю вкладених множин скінченної міри, перетин яких є пустою множиною, із неперервності зверху одержується

${\displaystyle \mu (\cup _{j>m}(E-E_{i,j})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}$

Тому для довільного ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, можна вибрати ${\displaystyle m_{i},}$ так що

${\displaystyle \mu (\cup _{j>m_{i}}(E-E_{i,j}))<{\frac {\delta }{2^{i}}}.}$

Нехай ${\displaystyle E_{\delta }=\cup _{i\in \mathbb {N} }\cup _{j>m_{i}}(E-E_{i,j}).}$ Тоді ${\displaystyle \mu (E_{\delta })\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (\cup _{j>m_{i}}(E-E_{i,j}))<\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\delta }{2^{i}}}=\delta .}$ Збіжність ${\displaystyle f_{n}\to f}$ є рівномірною на множині ${\displaystyle E-E_{\delta }}$. Справді для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$, існує ${\displaystyle n}$ таке що ${\displaystyle 1/n<\varepsilon }$. Якщо ${\displaystyle x\in E-E_{\delta }}$, тоді ${\displaystyle x\in \cap _{i\in \mathbb {N} }\cap _{j>m_{i}}E_{i,j},}$ звідки випливає, що для ${\displaystyle j>m_{n}}$, ${\displaystyle x\in E_{n,j}}$; тобто, ${\displaystyle |f_{j}(x)-f(x)|<1/n<\varepsilon }$. Тому для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує ${\displaystyle N}$ (визначене вище як ${\displaystyle m_{n}}$), що для ${\displaystyle j>N}$ виконується ${\displaystyle |f_{j}(x)-f(x)|<\varepsilon }$ для довільного ${\displaystyle x\in E-E_{\delta }}$. Тобто на множині ${\displaystyle x\in E-E_{\delta }}$ збіжність є рівномірною, що й доводить теорему.

Див. також

• Теорема Лузіна

Посилання

• Доведення теореми Єгорова на сайті PlanetMath.

Література

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989