Гомотопія

Гомотопія (з дав.-гр. ὁμός homós "сам, подібний" та τόπος tópos "місце") — в математиці поняття алгебричної топології, що формалізує поняття неперервної деформації одного об'єкта в інший. За допомогою гомотопії визначаються гомотопічні групи, що є важливими інваріантами в алгебричній топології.

Формальне визначення

Нехай ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ — топологічні простори і f та g — два неперервних відображення з простору ${\displaystyle X}$ в простір ${\displaystyle Y}$. Тоді відображення f називається гомотопним відображенню g, якщо існує неперервне відображення ${\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to Y}$ таке, що ${\displaystyle f(x)=H(x,0)}$ і ${\displaystyle g(x)=H(x,1)}$ для x ∈ X. Дане неперервне відображення називається гомотопією.

Пов'язані визначення

Гомотопічна еквівалентність бублика і чашки

• Гомотопічний інваріант — це характеристика простору, яка зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів. Тобто, якщо два простори гомотопно еквіваленті, то вони мають однакову характеристику. Наприклад: зв'язність, фундаментальна група, ейлерова характеристика.
• Якщо на деякій підмножині ${\displaystyle A\subset X,\;F(t,a)=f(a)}$ для всіх ${\displaystyle t}$ при ${\displaystyle a\in A}$, то ${\displaystyle F}$ називається гомотопією відносно ${\displaystyle A}$, а ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ гомотопними відносно ${\displaystyle A}$.
• Ізотопія — гомотопія топологічного простору ${\displaystyle X}$ по топологічному простору ${\displaystyle Y,}$ тобто ${\displaystyle f_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]}$, в якій при будь-кому ${\displaystyle t}$ відображення ${\displaystyle f_{t}}$ є гомеоморфізмом ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle f(X)\subset Y}$.

Гомотопічна еквівалентність

• Гомотопічна еквівалентність топологічних просторів ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ — пара неперервних відображень ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ і ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ така, що ${\displaystyle f\circ g\sim \operatorname {id} _{Y}}$ і ${\displaystyle g\circ f\sim \operatorname {id} _{X}}$, тут ${\displaystyle \sim }$ позначає гомотопічну еквівалентність відображень. В цьому випадку говорять, що ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ гомотопно еквівалентні, або ${\displaystyle X}$ з ${\displaystyle Y}$ мають один гомотопний тип.

Гомотопічна група

Гомотопічна група простору ${\displaystyle \Psi \,\,\pi _{n}(\Psi ,\psi _{0})}$ є групою гомотопічних класів неперервних відображень ${\displaystyle f:S^{n}\rightarrow \Psi ,}$ переводячи відзначену точку сфери у точку ${\displaystyle \psi _{0},}$ із декотрою операцією. Сферу ${\displaystyle S^{n}}$ можна неперервно й бієктивно відобразити у ${\displaystyle I^{n},}$ де ${\displaystyle I=[0,1].}$ Таким чином, гомотопічну групу можна визначити як групу гомотопічних класів неперервних відображень ${\displaystyle g:I^{n}\rightarrow \Psi ,}$ які переводять границю у відзначену точку ${\displaystyle g(\partial I^{n})=\psi _{0}.}$ Операцію таких відображень можна визначити наступним чином:

${\displaystyle (g_{1}*g_{2})(t_{1},...,t_{n})={\begin{cases}g_{1}(2t_{1},t_{2},...,t_{n});&t_{1}\in [0;0,5],\\g_{2}(2t_{1}-1,t_{2},...,t_{n});&t_{1}\in [0,5;1],\end{cases}}}$

Властивості

• Гомотопія задає відношення еквівалентності на множині неперервних відображень ${\displaystyle X\to Y}$

Рефлексивність. Якщо ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — деяке неперервне відображення, тоді функція ${\displaystyle H\colon X\times I\to Y}$ визначена ${\displaystyle H(x,t)=f(x)}$ буде гомотопією між f і f.

Симетричність. Нехай відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ гомотопне відображенню ${\displaystyle g\colon X\to Y}$ і ${\displaystyle H\colon X\times I\to Y}$ — відповідна гомотопія. Тоді g є гомотопним f з гомотопією ${\displaystyle H^{'}(x,t)=H(x,1-t)}$.

Транзитивність. Нехай відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ гомотопне відображенню ${\displaystyle g\colon X\to Y}$ і ${\displaystyle H\colon X\times I\to Y}$ — відповідна гомотопія. Нехай також відображення ${\displaystyle g\colon X\to Y}$ гомотопне відображенню ${\displaystyle h\colon X\to Y}$ і ${\displaystyle F\colon X\times I\to Y}$ — відповідна гомотопія. Тоді Тоді f є гомотопним h з гомотопією:

${\displaystyle G(x,t)={\begin{cases}H(x,2t);&t\in [0;0,5],\\H(x,2t-1);&t\in (0,5;1],\end{cases}}}$

• Усі відображення ${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,}$ є неперервними.
• Якщо ${\displaystyle \ f,f'\colon X\to Y,g\colon Y\to B,h\colon A\to X}$ — неперервні відображення, і ${\displaystyle H\colon X\times I\to Y}$ — гомотопія між ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle f'}$, то ${\displaystyle g\circ H\circ (h\times I)}$ є гомотопією між ${\displaystyle g\circ f\circ h}$ і ${\displaystyle g\circ f'\circ h}$.

Приклади

• Якщо ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{m}}$, то функції ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ є завжди є гомотопними. Гомотопія визначається: ${\displaystyle H(x,t)=f(x)+t\left[g(x)-f(x)\right].}$
• Множини ${\displaystyle X=[0,1],\;Y=(0,1)}$ є еквівалентними гомотопічно, але не гомеоморфними.
• Одиничне коло ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{1}}$ гомотопно еквівалентне простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$.
• ${\displaystyle [M,N]_{pt}\cong \lim _{\rightarrow }[N_{k,f},M_{f}]_{pt},}$ де ${\displaystyle N_{k,f}}$ - апроксимуючі скінченні моделі CW-комплесу ${\displaystyle N.}$ Тут ми маємо відображення ${\displaystyle [N_{k,f},M_{f}]_{pt}\rightarrow [N,M_{f}]_{pt}\cong [N,M_{f}]_{pt}\,\,\forall k.}$ Отримуємо бієкцію ${\displaystyle \varphi :\lim _{\rightarrow }[N_{k,f},M_{f}]_{pt}\rightarrow [N,M_{f}].}$
• Нехай ${\displaystyle U,G}$ - гомотопічні простори із відзначеною точкою, де ${\displaystyle G}$ - скінченне й у ньому виконується ${\displaystyle T_{0}.}$ Нехай відображення ${\displaystyle f,g:U\rightarrow G}$ є неперервними та ${\displaystyle \forall \,u\in U}$ виконується ${\displaystyle f(x)\in {\overline {g(x)}}.}$ Тоді вони є гомотопними. Дійсно, можна побудувати гомотопію ${\displaystyle H:U\times I\rightarrow G}$ із наступними властивостями:

${\displaystyle H(u,0)=f(x)}$

${\displaystyle H(u,t)=v(u),t\in (0,1].}$

Щоб показати неперервність відображеження ${\displaystyle H,}$ потрібно показати, що ${\displaystyle H^{-1}({\bar {p}})}$ є замкненим для будь-якої точки ${\displaystyle p\in f(U)\cup v(U).}$ Якщо ${\displaystyle v(u)\in {\bar {p}}}$ , то й ${\displaystyle f(u)\in {\bar {p}}.}$ Це дає ${\displaystyle v^{-1}({\bar {p}})\times [0,1]\subseteq f^{-1}({\bar {p}})\times \{0\}\cup v^{-1}({\bar {p}})\times (0,1].}$ Тоді ${\displaystyle H^{-1}({\bar {p}})=f^{-1}({\bar {p}})\times \{0\}\cup v^{-1}({\bar {p}})\times (0,1]=f^{-1}({\bar {p}})\times \{0\}\cup v^{-1}({\bar {p}})\times [0,1].}$ А відтак він є замкненим як об'єднання замкнених множин.

Посилання

• С. Максименко, Інститут математики НАН України, Вступ до теорії гомотопій на YouTube.

Література

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. —
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971