Апроксимація Паде

Апроксимація Паде — класичний метод раціональної апроксимації аналітичних функцій, названий на честь французького математика Анрі Паде. Метод полягає в поданні функції у вигляді відношення двох поліномів, причому коефіцієнти цих поліномів визначаються коефіцієнтами розкладу функції в ряд Тейлора: якщо є розкладання

${\displaystyle f(z)=c_{n}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots }$

то за допомогою апроксимації Паде можна оптимальним способом вибрати коефіцієнти ${\displaystyle a_{i}}$ і ${\displaystyle b_{i}}$ і отримати апроксимант

${\displaystyle {\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}}.}$

Використання цієї простої ідеї та її узагальнень призвело до багатьох результатів і перетворилося в фундаментальний метод дослідження.

Історія

Авторство Паде ґрунтується на його дисертації 1892 (копія дисертації зберігається в бібліотеці Корнельського університету). У цій роботі він вивчав подібні апроксимації і розташував їх в таблицю, приділивши при цьому велику увагу експоненціальній функції.

Апроксимант Паде

Нехай є розкладання функції ${\displaystyle f(z)}$ у степеневий ряд Тейлора:

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }{c_{i}z^{i}}}$, де ${\displaystyle c_{i}}$ — коефіцієнти ряду.

Апроксимантом Паде є раціональною функцією вигляду

${\displaystyle [L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}},}$

розкладання якої в ряд Макларена (ряд Тейлора з центром в нулі) збігається з розкладанням функції ${\displaystyle f(z)}$ до тих пір, поки це можливо. Функція такого виду має ${\displaystyle L+1}$ коефіцієнтів в чисельнику і ${\displaystyle M+1}$ — в знаменнику. Весь набір коефіцієнтів визначається з точністю до спільного множника, для визначенності нехай ${\displaystyle b_{0}=1}$. Тоді маємо ${\displaystyle L+M+1}$ незалежних невідомих коефіцієнтів. Логічно припустити, що коефіцієнти розкладання в ряд Макларена апроксиманта Паде і даної функції збігаються для ${\displaystyle 1,z,z^{2},\ldots ,z^{L+M}}$, тобто для формального ряду виконується

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{c_{i}z^{i}}={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}}+O(z^{L+M+1}).}$

Узагальнення

• Багатоточкові апроксимації Паде
• Апроксимації Бейкера-Гаммеля
• Апроксимація функції декількох змінних
• Матричні апроксимації Паде
• Апроксимація Паде-Чебишева
• Апроксимація Паде-Фур'є

Див. також

• Анрі Паде
• Таблиця Паде
• Апроксимація

Примітки

1. H. Padé. Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationnellesThèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne, 1892
2. . Архів оригіналу за 17 листопада 2011. Процитовано 16 вересня 2011.{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title ()
3. Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
4. Xu, Guoliang; Bultheel, Adhemar. Matrix Padé-approximation - definitions and properties, Linear Algebra and Its Applications, volume 137, pages 67-136, 1990

Джерела

• Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
• Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), Section 5.12 Padé Approximants, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (вид. 3), New York: Cambridge University Press, ISBN 
• Saff, E.B.; Varga, Richard S. (1977), Pade and Rational Approximation: Theory and Applications., Proceedings of an International Symposium Held at the University of South Florida, Academic Press, ISBN 
• Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
• Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1-62.
• Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, Ann. Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1-93 supplement.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Padé Approximant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Module for Padé Approximation [ 25 травня 2011 у Wayback Machine.], John H. Mathews California State University, Fullerton
• Padé Approximants [ 1 жовтня 2011 у Wayback Machine.], Oleksandr Pavlyk, ^[en]
• , Jerome Soucy Université Laval
• , Rudolf K. Bock European Laboratory for Particle Physics, CERN
• , Scott Dattalo, last accessed 2010-11-11.