Комутативна діаграма

У математиці, та особливо в теорії категорій, комутативна діаграма — зображувана в наочному вигляді структура на кшталт графу, вершинами якої служать об'єкти певної (категорії), а ребрами — морфізм. Комутативність означає, що для будь-яких вибраних початкового та кінцевого об'єкта, для орієнтованих шляхів, які поєднують їх, композиція відповідних шляху морфізмів не залежатиме від вибору шляху. Крім власне теорії категорій, комутативні діаграми незамінні в алгебричній геометрії та застосовуються в багатьох інших сучасних галузях математики.

Приклади

У прикладі, що ілюструє першу теорему про ізоморфізми, комутативність діаграми значить рівно те, що ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }$:

Для комутативного прямокутника комутативність означає незалежність вибору шляху: ${\displaystyle h\circ f=k\circ g}$

Позначки

В алгебрі різні типи морфізмів позначаються різними стрілками: ${\displaystyle \rightarrow }$ просто морфізм; ${\displaystyle \hookrightarrow }$ мономорфізм, ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$ епіморфізм, ${\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}$ ізоморфізм. Пунктирна стрілка зазвичай позначає шуканий морфізм (тоді як суцільні стрілки задані з самого спочатку). Йдеться про те, що якщо існує шлях для морфізму (позначених суцільними лініями), що з'єднує початок та кінець шуканого морфізму, то він існує та визначається з властивостей комутативності діаграми.

Див. також

• Точна послідовність

Посилання

• Діаграми в MathWorld. [ 22 Листопада 2020 у Wayback Machine.]
• WildCats Теорія категорій в пакеті Математика. Перетворення та візуалізація об'єктів, морфізма, (категорії), функторів, .[[https://web.archive.org/web/20210101171045/http://wildcatsformma.wordpress.com/ Архівовано 1 Січня 2021 у Wayback Machine.]