Матриця повороту — матриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.
В новій системі координат вектор переходить у вектор Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок
Цей зв'язок визначається матрицею повороту
Властивості
- Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то
- отже, матриця повороту є ортогональною матрицею:
- (обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).
- Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то
- (детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).
- Добутком матриць повороту є матриця повороту:
Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).
- Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:
Матриця повороту на площині
У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд
де — кут повороту проти годинникової стрілки.
Вона обертає вектор рядок за допомогою наступного множення матриць,
- .
Тож нові координати (x',y') точки (x,y) після обертання будуть наступні:
- ,
- .
Матриця повороту в тривимірному просторі
- Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:
- Матриця повороту може бути виражена через кути Ейлера як
- Матриця повороту відносно одиничного вектора на кут :
де
- — матриця векторного добутку,
- — тензорний добуток векторів (результатом є матриця).
Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших:
- перший — проектор на лінію вектора u,
- інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u.
Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.
Матриця повороту в просторі Мінковського
У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.
Дивись також
Посилання
- Weisstein, Eric W. Матриця повороту(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Matricya povorotu matricya perehodu yaka zv yazuye mizh soboyu koordinati vektoriv vektornogo prostoru pri zmini sistemi koordinat V novij sistemi koordinat vektor x displaystyle x perehodit u vektor x displaystyle x prime Mizh novimi ta starimi koordinatami isnuye linijnij zv yazok x R x displaystyle x prime R cdot x Cej zv yazok viznachayetsya matriceyu povorotu R displaystyle R VlastivostiOskilki povorot ce peretvorennya koordinat pri yakomu zberigayutsya dovzhini vektoriv to x T x x T R T R x x T x displaystyle x prime T cdot x prime x T R T cdot Rx x T cdot x otzhe matricya povorotu ye ortogonalnoyu matriceyu R 1 R T displaystyle R 1 R T obernena matricya dorivnyuye transponovanij matrici Oskilki povorot zberigaye oriyentaciyu to det R 1 displaystyle det R 1 determinant matrici povorotu dorivnyuye odinici Dobutkom matric povorotu ye matricya povorotu R 1 R 2 T R 1 R 2 R 2 T R 1 T R 1 R 2 I displaystyle R 1 R 2 T R 1 R 2 R 2 T R 1 T R 1 R 2 I det R 1 R 2 det R 1 det R 2 1 displaystyle det R 1 R 2 det R 1 det R 2 1 Tri vishepererahovani vlastivosti oznachayut sho matrici povorotu utvoryuyut dijsnu specialnu ortogonalnu grupu SO n Korisnoyu ye vlastivist vzayemodiyi z vektornim dobutkom R a b R a R b displaystyle R vec a times vec b R vec a times R vec b Matricya povorotu na ploshiniPovorot v ploshini na kut f displaystyle varphi perevodit tochku x y displaystyle x y v tochku x y displaystyle x y U dvovimirnomu vipadku matricya povorotu maye viglyad R f cos f sin f sin f cos f displaystyle R varphi begin bmatrix cos varphi amp sin varphi sin varphi amp cos varphi end bmatrix de f displaystyle varphi kut povorotu proti godinnikovoyi strilki Vona obertaye vektor ryadok za dopomogoyu nastupnogo mnozhennya matric x y cos f sin f sin f cos f x y displaystyle begin bmatrix x y end bmatrix begin bmatrix cos varphi amp sin varphi sin varphi amp cos varphi end bmatrix begin bmatrix x y end bmatrix Tozh novi koordinati x y tochki x y pislya obertannya budut nastupni x x cos f y sin f displaystyle x x cos varphi y sin varphi y x sin f y cos f displaystyle y x sin varphi y cos varphi Matricya povorotu v trivimirnomu prostoriDokladnishe SO 3 Matrici povorotu vidnosno osej x y ta z vidpovidno R x f 1 0 0 0 cos f sin f 0 sin f cos f R y f cos f 0 sin f 0 1 0 sin f 0 cos f R z f cos f sin f 0 sin f cos f 0 0 0 1 displaystyle R x varphi begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp cos varphi amp sin varphi 0 amp sin varphi amp cos varphi end bmatrix qquad R y varphi begin bmatrix cos varphi amp 0 amp sin varphi 0 amp 1 amp 0 sin varphi amp 0 amp cos varphi end bmatrix qquad R z varphi begin bmatrix cos varphi amp sin varphi amp 0 sin varphi amp cos varphi amp 0 0 amp 0 amp 1 end bmatrix Matricya povorotu mozhe buti virazhena cherez kuti Ejlera yak R R z f R y 8 R x ps displaystyle R R z varphi cdot R y theta cdot R x psi Matricya povorotu vidnosno odinichnogo vektora u x y z displaystyle mathbf u x y z na kut f displaystyle varphi R u f u u T I u u T cos f u sin f displaystyle R mathbf u varphi mathbf uu T I mathbf uu T cos varphi big mathbf u big times sin varphi de u displaystyle big mathbf u big times matricya vektornogo dobutku u u u u T displaystyle mathbf u otimes u mathbf uu T tenzornij dobutok vektoriv rezultatom ye matricya Kozhen z troh dodankiv ye ortogonalnim do dvoh inshih pershij proektor na liniyu vektora u inshi na liniyi sho perpendikulyarni vektoru u Vishenavedena formula matrichnij zapis formuli povorotu Rodrigesa Matricya povorotu v prostori MinkovskogoU prostori Minkovskogo matricya povorotu vklyuchaye v sebe yak prostorovi povoroti tak i perehodi vid odniyeyi inercijnoyi sistemi vidliku do inshoyi yaki zadayutsya peretvorennyami Lorenca Divis takozhKvaternioni i povoroti prostoru Unitarna matricyaPosilannyaWeisstein Eric W Matricya povorotu angl na sajti Wolfram MathWorld DzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros