Рівномірна границя послідовності функцій

Рівномірна збіжність послідовності функцій — властивість послідовності ${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$, де ${\displaystyle X}$ — довільна множина, ${\displaystyle Y=(Y,d)}$ — метричний простір, ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ збігається до функції (відображення) ${\displaystyle f:X\to Y}$, що означає, що для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує такий номер ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$, що для всіх номерів ${\displaystyle n>N_{\varepsilon }}$ і всіх точок ${\displaystyle x\in X}$ виконується нерівність

${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon .}$

Ця умова рівнозначна тому, що

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in X}d(f_{n}(x),f(x))=0.}$

Зазвичай позначається${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$. ${\displaystyle f}$ називається рівномірною границею послідовності функцій ${\displaystyle f_{n}}$ на множині X.

Приклад

• Послідовність ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$, ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ рівномірно збігається на будь-якому відрізку ${\displaystyle [0,a]}$, ${\displaystyle 0<a<1}$ і не збігається рівномірно на відрізку ${\displaystyle [0,1]}$.

Властивості

• Із рівномірної збіжності випливає поточкова збіжність на тій же множині.

• Якщо ${\displaystyle Y}$ — нормований простір і послідовності відображень ${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$ і ${\displaystyle g_{n}:X\to Y}$, ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ рівномірно збігаються на множині ${\displaystyle X}$, то послідовності ${\displaystyle \{f_{n}+g_{n}\}}$ також як і ${\displaystyle \{\alpha f_{n}\}}$ при будь-яких ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ також рівномірно збігаются на ${\displaystyle X}$.

• Для дійсно-значних функцій, послідовність відображень ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} }$, рівномірно збігається на множині ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$ обмежене відображення, то послідовність ${\displaystyle \{gf_{n}\}}$ також рівномірно збігається на ${\displaystyle X}$.

• Якщо ${\displaystyle X}$ — топологічний простір, ${\displaystyle Y}$ — метричний простір та послідовність неперервних в точці ${\displaystyle x_{0}\in X}$ відображень ${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$ рівномірно збігається на множині ${\displaystyle X}$ до відображеня ${\displaystyle f:X\to Y}$, то це відображення також неперервно в точці ${\displaystyle x_{0}}$.

• Якщо послідовність інтегровних за Ріманом (за Лебегом) функцій ${\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} }$ рівномірно збігається на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ до функції ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$, то ця функція також інтегровна за Ріманом (відповідно за Лебегом), і для кожного ${\displaystyle x\in [a,b]}$ має місце рівність
      ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt}$
  і збіжність послідовності функцій
      ${\displaystyle x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt}$
  на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ до функції
      ${\displaystyle x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f(t)dt}$
  рівномірна.

• Якщо послідовність неперервно диференційовних на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ функцій ${\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} }$, збігається у деякій точці ${\displaystyle x_{0}}$, a послідовність їх похідних рівномірно збігається на ${\displaystyle [a,b]}$, то послідовність ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ також рівномірно збігається на ${\displaystyle [a,b]}$, її границя є неперервно диференційовною функцією на цьому відрізку.

Див. також

• Квазірівномірна збіжність
• Теорема Діні
• Теорема Єгорова

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
• Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
• Колмогоров А. Н., Фомин С . В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.. М., 1981;
• Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1951.