Квазірівномірна збіжність

У математичному аналізі квазірівномірна збіжність є узагальненням поняття рівномірної збіжності. Нехай послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}}$ топологічного простору ${\displaystyle X}$ у множину дійсних чисел (чи більш загально у метричний простір ${\displaystyle Y}$ ) поточково збігається до функції ${\displaystyle f}$. Тоді збіжність називається квазірівномірною якщо для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ і будь-якого натурального числа ${\displaystyle N}$ існує не більш ніж зліченне відкрите покриття ${\displaystyle \{U_{1},U_{2},\ldots \}}$ простору ${\displaystyle X}$ і послідовність ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$ натуральних чисел, де всі ${\displaystyle n_{i}>N,}$ що ${\displaystyle |f(x)-f_{n_{i}}(x)|<\varepsilon }$ для всіх ${\displaystyle x\in U_{i}.}$

Поняття квазірівномірної збіжності ввів італійський математик Чезаре Арцела при вивченні необхідних і достатніх умов при яких поточково збіжна послідовність неперервних функцій збігається до теж неперервної функції.

Із означення рівномірної збіжності випливає, що кожна рівномірно збіжна послідовність є квазірівномірно збіжною і при цьому для будь-яких ${\displaystyle \varepsilon >0}$ і ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ достатньо взяти покриття із єдиної множини ${\displaystyle X,}$ а за ${\displaystyle n_{1}}$ — будь-яке натуральне число, що задовольняє нерівність ${\displaystyle n_{1}>\max(N,N_{\varepsilon }),}$ де ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ є натуральним числом, що відповідає ${\displaystyle \varepsilon }$ в означенні рівномірної збіжності.

Якщо топологічний простір є компактним, а послідовність ${\displaystyle f_{n}}$ є зростаючою, то навпаки квазірівномірна збіжність є рівномірно. Дійсно із компактності випливає, що для будь-яких ${\displaystyle N}$ і ${\displaystyle \varepsilon }$ покриття можна вибрати скінченним і тоді для ${\displaystyle n=\max _{i}n_{i}}$ нерівність ${\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon }$ виконується для всіх ${\displaystyle x\in X.}$ Але тоді для всіх ${\displaystyle m>n}$ також ${\displaystyle |f(x)-f_{m}(x)|<=|f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon }$ для всіх ${\displaystyle x\in .}$ і тому ${\displaystyle n}$ можна вибрати як число із означення рівномірної неперервності для ${\displaystyle \varepsilon }$. Як наслідок зокрема теорема Діні випливає із теореми Арцела нижче.

Теорема Арцела

Для поточково збіжної послідовності ${\displaystyle f_{n}}$ неперервних функцій квазірівномірна збіжність є необхідною та достатньою умовою неперервності граничної функції ${\displaystyle f}$.

Доведення

Нехай ${\displaystyle \varphi _{n}(x):=f(x)-f_{n}(x).}$ Якщо ${\displaystyle f}$ є неперервною то відповідно і всі ${\displaystyle \varphi _{n}}$ є неперервними. Відповідно усі множини ${\textstyle U_{nm}:=\varphi _{n}^{-1}\left(-{\frac {1}{m}},{\frac {1}{m}}\right)}$ для ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ є відкритими підмножинами простору ${\displaystyle X}$. Множина цих відкритих підмножин є не більш, ніж зліченною. Точка ${\displaystyle x\in X}$ належить множині ${\displaystyle U_{nm}}$ якщо ${\textstyle |\varphi _{n}(x)|<{\frac {1}{m}}}$ тобто ${\textstyle |f(x)-f_{n}(x)|<{\frac {1}{m}}.}$ Із умови поточкової збіжності випливає, що множини ${\displaystyle U_{nm}}$ утворюють відкрите покриття простору ${\displaystyle X.}$

Якщо тепер ${\displaystyle \varepsilon >0}$ і ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ то для ${\displaystyle n>N}$ і ${\textstyle m>{\frac {1}{\varepsilon }}}$ згідно означень виконується нерівність ${\textstyle |\varphi _{n}(x)|<{\frac {1}{m}}<\varepsilon }$ для всіх ${\displaystyle x\in U_{nm}.}$ Множини ${\displaystyle U_{nm}}$ для ${\displaystyle n>N}$ і ${\textstyle m>{\frac {1}{\varepsilon }}}$ теж утворюють відкрите покриття простору ${\displaystyle X.}$ Справді якщо ${\displaystyle x\in X}$ то із означення поточкової збіжності випливає, що для будь-якого ${\displaystyle {\frac {1}{m}}<\varepsilon }$ для всіх достатньо великих чисел ${\displaystyle n}$ ${\textstyle |f(x)-f_{n}(x)|<{\frac {1}{m}}.}$ Зокрема можна вибрати для цього ${\displaystyle n>N}$ і тоді ${\displaystyle x\in U_{nm}.}$

Відповідно множини виду ${\displaystyle U_{nm}}$ для ${\displaystyle n>N}$ і ${\textstyle m>{\frac {1}{\varepsilon }}}$ утворюють не більш ніж зліченне покриття простору ${\displaystyle X}$ і якщо для множини ${\displaystyle U_{nm}}$ вибрати число n це покриття задовольняє умову в означенні квазірівномірної збіжності. Тобто збіжність є квазірівномірною, що завершує доведення необхідності.

Нехай тепер збіжність ${\displaystyle f_{n}}$ до граничної функції ${\displaystyle f}$ є квазірівномірною. Достатньо довести, що для будь-якого відкритого проміжку ${\displaystyle (a,b)}$ прообраз ${\displaystyle f^{-1}(a,b)}$ є відкритою множиною. Це очевидно є так, якщо прообраз є порожньою множиною. В іншому випадку існує ${\displaystyle x\in X}$ для якого ${\displaystyle f(x)\in (a,b)}$ і можна вибрати числа ${\displaystyle c,d,\varepsilon }$ із умовами ${\displaystyle a<c<f(x)<d<b}$ і ${\displaystyle 0<\varepsilon <\min(c-a,b-d,f(x)-c,d-f(x)).}$ Нехай ${\displaystyle N}$ є довільним натуральним числом і розглянемо покриття із означення квазірівномірної збіжності для ${\displaystyle \varepsilon }$ і ${\displaystyle N}$. Нехай ${\displaystyle U}$ є елементом покриття, що містить ${\displaystyle x.}$ Тоді для деякого ${\displaystyle n>N}$ для всіх ${\displaystyle y\in U}$ виконується нерівність ${\textstyle |f(y)-f_{n}(y)|<\varepsilon .}$ Зокрема звідси випливає, що ${\textstyle f(x)-\varepsilon <f_{n}(x)<f(x)+\varepsilon }$ і як наслідок ${\textstyle f_{n}(x)\in (c,d).}$ Оскільки за умовою ${\textstyle f_{n}(x)}$ є неперервною функцією, то ${\textstyle f_{n}^{-1}(c,d)}$ і тому також ${\displaystyle V:=U\cap f_{n}^{-1}(c,d)}$ є відкритими множинами, що містять ${\displaystyle x.}$ Але тоді для будь-якого ${\displaystyle y\in V}$ також ${\textstyle |f(y)-f_{n}(y)|<\varepsilon }$ і ${\textstyle f_{n}(y)\in (c,d)}$ тому ${\textstyle c-\varepsilon <f(y)<d+\varepsilon .}$ Зокрема ${\displaystyle f(V)\subset (a,b)}$ і ${\displaystyle V}$ є відкритою множиною, що міститься у ${\displaystyle f^{-1}(a,b)}$ і містить точку ${\displaystyle x.}$ Із довільності вибору ${\displaystyle x}$ випливає, що ${\displaystyle f^{-1}(a,b)}$ є відкритою множиною і оскільки вибір ${\displaystyle (a,b)}$ теж був довільним звідси випливає неперервність функції ${\displaystyle f}$.

Див. також

• Поточкова збіжність
• Рівномірна збіжність
• Теорема Діні

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)