Теорема Діні — твердження в математичному аналізі, що для компактного метричного простору E, якщо зростаюча (відповідно спадна) послідовність fn дійсних неперервних функцій поточково збігається до неперервної функції g, то вона збігається до цієї функції g рівномірно.
Доведення
Припустимо, що послідовність зростаюча.
Для довільного і довільної точки існує такий номер що при виконується нерівність . Так як g і неперервні, у точки t існує такий окіл V (t), що з випливає і
Таким чином, для будь-якої точки ми маємо
Виберемо тепер скінченну множину точок так, щоб околи покривали Е (це можливо, зважаючи на компактність E), і нехай — найбільший з номерів
Тоді будь-яка точка належить принаймні одному з околів тому при справедливі нерівності
Див. також
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964 (рос.)
Це незавершена стаття з математичного аналізу. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Div takozh Dini Teorema Dini tverdzhennya v matematichnomu analizi sho dlya kompaktnogo metrichnogo prostoru E yaksho zrostayucha vidpovidno spadna poslidovnist fn dijsnih neperervnih funkcij potochkovo zbigayetsya do neperervnoyi funkciyi g to vona zbigayetsya do ciyeyi funkciyi g rivnomirno DovedennyaPripustimo sho poslidovnist zrostayucha Dlya dovilnogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 i dovilnoyi tochki t E displaystyle t in E isnuye takij nomer n t displaystyle n t sho pri m n t displaystyle m geqslant n t vikonuyetsya nerivnist g t f m t e 3 displaystyle g t f m t leqslant varepsilon 3 Tak yak g i f n t displaystyle f n t neperervni u tochki t isnuye takij okil V t sho z t V t displaystyle t in V t viplivaye g t g t e 3 displaystyle g t g t leqslant varepsilon 3 i f n t t f n t t e 3 displaystyle f n t t f n t t leqslant varepsilon 3 Takim chinom dlya bud yakoyi tochki t V t displaystyle t in V t mi mayemo g t f n t t e displaystyle g t f n t t leqslant varepsilon Viberemo teper skinchennu mnozhinu tochok t i E displaystyle t i in E tak shob okoli V t i displaystyle V t i pokrivali E ce mozhlivo zvazhayuchi na kompaktnist E i nehaj n 0 displaystyle n 0 najbilshij z nomeriv n t i displaystyle n t i Todi bud yaka tochka t E displaystyle t in E nalezhit prinajmni odnomu z okoliv V t i displaystyle V t i tomu pri n n 0 displaystyle n geqslant n 0 spravedlivi nerivnosti g t f n t g t f n 0 t g t f n t i t t E displaystyle g t f n t leqslant g t f n 0 t leqslant g t f n t i t forall t in E Div takozhKvazirivnomirna zbizhnist Rivnomirna zbizhnistLiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Dedonne Zh Osnovy sovremennogo analiza M Mir 1964 ros Ce nezavershena stattya z matematichnogo analizu Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi