Кривина Менгера

У математиці, кривиною Менгера трійки точок в n-мірному Евклідовому просторі Rⁿ є величина обернена радіусу кола, що проходить через ці три точки. Названа на честь Австрійсько-американського математика Карла Менгера.

Означення

Нехай х, у і z три точки в Rⁿ; для простоти припустимо, що всі три точки різні і не лежать на одній прямій. Нехай Π ⊆ Rⁿ евклідова площина, натягнута на х, y і z, і нехай C ⊆ Π єдине евклідове коло на Π, що проходить через х, у і z (в описане коло х, у і z). Нехай R радіус C. Тоді кривина Менгера c(х,,) точок х, y і z визначається за формулою

${\displaystyle c(x,y,z)={\frac {1}{R}}.}$

Якщо три точки лежать на одній прямій, то неформально можна вважати, що R дорівнює +∞, тоді за означенням c(x, y, z) = 0. Якщо якісь з точок х, у чи z збігаються, то означимо c(x, y, z) = 0.

Використовуючи відомі формули, що зв'язують між собою довжин сторін трикутника до його площі, отримаємо що

${\displaystyle c(x,y,z)={\frac {1}{R}}={\frac {4A}{|x-y||y-z||z-x|}},}$

де А позначає площу трикутника, з вершинами в точках x, y і z.

Інший спосіб обчислення кривини Менгера:

${\displaystyle c(x,y,z)={\frac {2\sin \angle xyz}{|x-z|}}}$

де ${\displaystyle \angle xyz}$ — кут при вершині y трикутника з вершинами в точках x, y і z.

Також кривину Менгера можна обчислити в загальному метричному просторі. Якщо X - метричний простір і х, y і z різні точки, нехай f - ізометрія з ${\displaystyle \{x,y,z\}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Кривина Менгера цих точок

${\displaystyle c_{X}(x,y,z)=c(f(x),f(y),f(z)).}$

Зверніть увагу, що f не мусить бути визначена на всьому X, тільки на {х, у, z}, а значення c_Х(x, у, z) не залежить від вибору f.

Доцільність інтегральної кривини

Кривина Менгера може бути використана щоб задати кількісні умови, коли множина в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ може бути спрямна. Для міри Бореля ${\displaystyle \mu }$ на евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ визначити

${\displaystyle c^{p}(\mu )=\int \int \int c(x,y,z)^{p}d\mu (x)d\mu (y)d\mu (z).}$

• Борелівська множина ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ спрямна, якщо ${\displaystyle c^{2}(H^{1}|_{E})<\infty }$, де ${\displaystyle H^{1}|_{E}}$ позначає  одновимірну Гаусдорфову міру, визначену на множині ${\displaystyle E}$.

Див. також

• ^[en]

Посилання

• Leymarie, F. (September 2003). . Архів оригіналу за 21 серпня 2007. Процитовано 19 листопада 2007.

Примітки

1. Leger, J. (1999). (PDF). Annals of Mathematics. Annals of Mathematics. 149 (3): 831—869. arXiv:math/9905212. doi:10.2307/121074. JSTOR 121074. Архів оригіналу (PDF) за 7 липня 2020. Процитовано 26 квітня 2020.

• Tolsa, Xavier (2000). Principal values for the Cauchy integral and rectifiability. 128 (7): 2111—2119. doi:10.1090/S0002-9939-00-05264-3.