Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Радіа́н (у математиці та фізиці) — це одиниця вимірювання площинних кутів в Міжнародній системі одиниць SI.
| Радіан | ||||
 | ||||
| Кут 1 радіан відтинає дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола | ||||
| Загальна інформація | ||||
|---|---|---|---|---|
| Система одиниць | Похідні одиниці SI | |||
| Одиниця | кута | |||
| Позначення | рад або rad | |||
| Розмірність | безрозмірнісна, як відношення довжини дуги до радіуса 1 м/м | |||
| Перерахунок в інші системи | ||||
| 1 рад в... | дорівнює... | |||
| мілірадіанах | 1000 мрад | |||
| обертах | 1/2π оберта | |||
| градусах | 180/π ≈ 57.296° | |||
| градах | 200/π ≈ 63.662 гон | |||
 Радіан у Вікісховищі | ||||
Один радіан — це площинний кут, утворений двома радіусами, так, що довжина дуги між ними дорівнює радіусу кола. Тобто, вимірювання кута в радіанах показує в скільки разів довжина дуги кола, що спирається на цей кут, відрізняється від його радіуса.
Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання та має позначення рад (міжнародне — rad), але, зазвичай, при написанні це позначення не пишеться. При вимірюванні кутів в градусах використовують позначення °, для того щоб відрізнити від величин, виражених в радіанах.
Пояснення
Повна довжина кола дорівнює 2πr, де r — радіус кола. Тому повне коло є кутом в 2π≈6.28319 радіан. Перетворення радіанів у градуси та навпаки здійснюється так:
![image]()
рад ![image]()
,- 1 рад (або
![image]()
) = ![image]()
. ![image]()
рад,![image]()
рад ![image]()
рад.
Властивості
Широке застосування радіанів в математичному аналізі обумовлено тим, що вирази з тригонометричними функціями, аргументи яких вимірюються в радіанах, набувають максимально простого вигляду (без числових коефіцієнтів). Наприклад, використовуючи радіани, отримаємо просту тотожність
що лежить в основі багатьох елегантних формул в математиці.
При малих кутах синус і тангенс кута, вираженого в радіанах, рівні самому куту, що зручно при наближених обчисленнях.
Косинус малого кута, вираженого в радіанах, наближено дорівнює:
Розмірність
Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання. Тобто числове значення кута, що виміряний в радіанах, позбавлене розмірності. Це легко бачити із самого означення радіана, як відношення довжини кола до радіуса. Згідно з рекомендаціями Міжнародного бюро з мір та ваг радіан інтерпретується як одиниця з розмірністю 1 = м·м−1 (м/м, тобто метр на метр — чисельник і знаменник можливо скоротити, тобто він має розмірність 1).
Інакше, безрозмірність радіана можна бачити з виразу ряду Тейлора для тригонометричної функції sin(x):
Якби x мав розмірність, тоді ця сума була б позбавлена змісту — лінійний доданок x не можна було б додати до кубічного x3/3!, як величини різних розмірностей. Отже, x мусить бути безрозмірнісним.
Кутові швидкості теорії електричних машин прийнято вимірювати в електричних радіанах в секунду (ел. рад/с). Зв'язок між кутовими швидкостями ел. рад/с та в механічних одиницях (рад/с) встановлюється окремими залежностями.
Див. також
Примітки
- 6.5.3 // Quantities and units—Part 1: General — 1 — ISO, 2009. — P. 18. — 41 p.
- Phillips W. D. Dimensionless units in the SI // Metrologia — IOP Publishing, 2014. — Vol. 52. — P. 40–47. — ISSN 0026-1394; 1681-7575 — doi:10.1088/0026-1394/52/1/40 — arXiv:1409.2794
- The International System of Units, Le Système international d’unités — 9 — BIPM, 2019. —
- Наказ Міністерства економічного розвитку та торгівлі України від 25.08.2015 № 914. Про затвердження визначень основних одиниць SI, назв та визначень похідних одиниць SI, десяткових кратних і частинних від одиниць SI, дозволених позасистемних одиниць, а також їх позначень та Правил застосування одиниць вимірювання і написання назв та позначень одиниць вимірювання і символів величин.
- Радиан электрический
Джерела
- Алєксєєв, В. М. Математика: Довідковий повторювальний курс [Текст] : [навч. посібник] / В. М. Алєксєєв, Р. П. Ушаков;за ред. М. Й. Ядренка. — К. : Вища школа, 1992. — 494 с. —
- Математика для вступників до вузів [Текст] : навчальний посібник / В. В. Семенець, М. Ф. Бондаренко, В. А. Дікарев та ін. — Харків : СМІТ, 2002. — 1120с. — . —
Посилання
- Радіан // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 165. — .
- «Углы, градусы и радианы» — переклад статті Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians | BetterExplained (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Radia n u matematici ta fizici ce odinicya vimiryuvannya ploshinnih kutiv v Mizhnarodnij sistemi odinic SI pohidna odinicya SI 1 d d pohidna odinicya SI sho maye vlasnu nazvu d 3 i dRadian Kut 1 radian vidtinaye dugu dovzhina yakoyi dorivnyuye radiusu kola Zagalna informaciya Sistema odinic Pohidni odinici SIOdinicya kutaPoznachennya rad abo radRozmirnist bezrozmirnisna yak vidnoshennya dovzhini dugi do radiusa 1 m m Pererahunok v inshi sistemi 1 rad v dorivnyuye miliradianah 1000 mrad obertah 1 2p oberta gradusah 180 p 57 296 gradah 200 p 63 662 gon Radian u Vikishovishi Odin radian ce ploshinnij kut utvorenij dvoma radiusami tak sho dovzhina dugi mizh nimi dorivnyuye radiusu kola Tobto vimiryuvannya kuta v radianah pokazuye v skilki raziv dovzhina dugi kola sho spirayetsya na cej kut vidriznyayetsya vid jogo radiusa Radian ye bezrozmirnisnoyu odiniceyu vimiryuvannya ta maye poznachennya rad mizhnarodne rad ale zazvichaj pri napisanni ce poznachennya ne pishetsya Pri vimiryuvanni kutiv v gradusah vikoristovuyut poznachennya dlya togo shob vidrizniti vid velichin virazhenih v radianah PoyasnennyaPovna dovzhina kola dorivnyuye 2pr de r radius kola Tomu povne kolo ye kutom v 2p 6 28319 radian Peretvorennya radianiv u gradusi ta navpaki zdijsnyuyetsya tak 2 p displaystyle 2 pi rad 360 displaystyle 360 circ 1 rad abo p displaystyle p circ 360 2 p 180 p 57 295 779513 57 17 44 806 displaystyle frac 360 circ 2 pi frac 180 circ pi approx 57 295779513 circ approx 57 circ 17 44 806 360 2 p displaystyle 360 circ 2 pi rad 1 2 p 360 displaystyle 1 circ frac 2 pi 360 rad p 180 displaystyle frac pi 180 rad VlastivostiShiroke zastosuvannya radianiv v matematichnomu analizi obumovleno tim sho virazi z trigonometrichnimi funkciyami argumenti yakih vimiryuyutsya v radianah nabuvayut maksimalno prostogo viglyadu bez chislovih koeficiyentiv Napriklad vikoristovuyuchi radiani otrimayemo prostu totozhnist lim h 0 sin h h 1 displaystyle lim h rightarrow 0 frac sin h h 1 sho lezhit v osnovi bagatoh elegantnih formul v matematici Pri malih kutah sinus i tangens kuta virazhenogo v radianah rivni samomu kutu sho zruchno pri nablizhenih obchislennyah Kosinus malogo kuta virazhenogo v radianah nablizheno dorivnyuye cos x 1 x 2 2 displaystyle cos x approx 1 frac x 2 2 RozmirnistRadian ye bezrozmirnisnoyu odiniceyu vimiryuvannya Tobto chislove znachennya kuta sho vimiryanij v radianah pozbavlene rozmirnosti Ce legko bachiti iz samogo oznachennya radiana yak vidnoshennya dovzhini kola do radiusa Zgidno z rekomendaciyami Mizhnarodnogo byuro z mir ta vag radian interpretuyetsya yak odinicya z rozmirnistyu 1 m m 1 m m tobto metr na metr chiselnik i znamennik mozhlivo skorotiti tobto vin maye rozmirnist 1 Inakshe bezrozmirnist radiana mozhna bachiti z virazu ryadu Tejlora dlya trigonometrichnoyi funkciyi sin x sin x x x 3 3 x 5 5 displaystyle sin x x frac x 3 3 frac x 5 5 cdots Yakbi x mav rozmirnist todi cya suma bula b pozbavlena zmistu linijnij dodanok x ne mozhna bulo b dodati do kubichnogo x3 3 yak velichini riznih rozmirnostej Otzhe x musit buti bezrozmirnisnim Kutovi shvidkosti teoriyi elektrichnih mashin prijnyato vimiryuvati v elektrichnih radianah v sekundu el rad s Zv yazok mizh kutovimi shvidkostyami el rad s ta v mehanichnih odinicyah rad s vstanovlyuyetsya okremimi zalezhnostyami Div takozhPortal Matematika Steradian Trigonometriya Polyarna sistema koordinat GonPrimitki6 5 3 Quantities and units Part 1 General 1 ISO 2009 P 18 41 p d Track Q15028d Track Q26711930 Phillips W D Dimensionless units in the SI Metrologia IOP Publishing 2014 Vol 52 P 40 47 ISSN 0026 1394 1681 7575 doi 10 1088 0026 1394 52 1 40 arXiv 1409 2794 d Track Q51158115d Track Q2915886d Track Q2044001 The International System of Units Le Systeme international d unites 9 BIPM 2019 ISBN 978 92 822 2272 0 d Track Q229478d Track Q68977219 Nakaz Ministerstva ekonomichnogo rozvitku ta torgivli Ukrayini vid 25 08 2015 914 Pro zatverdzhennya viznachen osnovnih odinic SI nazv ta viznachen pohidnih odinic SI desyatkovih kratnih i chastinnih vid odinic SI dozvolenih pozasistemnih odinic a takozh yih poznachen ta Pravil zastosuvannya odinic vimiryuvannya i napisannya nazv ta poznachen odinic vimiryuvannya i simvoliv velichin Radian elektricheskijDzherelaAlyeksyeyev V M Matematika Dovidkovij povtoryuvalnij kurs Tekst navch posibnik V M Alyeksyeyev R P Ushakov za red M J Yadrenka K Visha shkola 1992 494 s ISBN 5 11 000094 1 Matematika dlya vstupnikiv do vuziv Tekst navchalnij posibnik V V Semenec M F Bondarenko V A Dikarev ta in Harkiv SMIT 2002 1120s ISBN 966 7714 88 8 ISBN 966 95983 1 1PosilannyaRadian Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 165 ISBN 978 966 7407 83 4 Ugly gradusy i radiany pereklad statti Intuitive Guide to Angles Degrees and Radians BetterExplained angl