Теорема Кантора про перетини об‘єднала у собі дві близькі між собою теореми загальної топології та аналізу функції дійсної змінної. Теорема, названа на честь Георга Кантора, стверджує, що вкладена послідовність непорожніх компактних замкнутих множин має непорожній перетин.
Топологічне твердження теореми
Теорема. Нехай є топологічним простором і підмножини є непорожніми, замкнутими і компактними. Нехай ці підмножини утворюють спадну послідовність підмножин, тобто
Тоді, їх перетин є непорожньою множиною:
Іншими словами існує точка яка належить всім цим підмножинам, тобто , для всіх цілих .
У випадку, наприклад, гаусдорфових просторів довільна компактна підмножина є замкненою, тому у твердженні теореми вимогою замкнутості можна знехтувати.
Доведення. Припустимо, що . Позначимо також . Оскільки і , то . Усі підмножини є замкнутими у і тому також замкнутими в , у індукованій топології. Тому є відкритими підмножинами . Оскільки , тобто є відкритим покриттям і є компактною множиною, то існує скінченне підпокриття . Позначимо . Тоді, оскільки , то . Як наслідок .
Але тоді , що суперечить припущенню у твердженні теореми. Тому .
Твердження для дійсних чисел
В аналізі функції дійсної змінної теорема має такий самий висновок для замкнених і обмежених підмножин множини дійсних чисел . Теорема стверджує, що спадна вкладена послідовність непорожніх, замкнених і обмежених підмножин множини дійсних чисел має непорожній перетин.
Це твердження випливає із загального топологічного твердження у світлі теореми Гейне Бореля, яка стверджує, що множини дійсних чисел є компактними, тоді й лише тоді, коли вони є замкненими і обмеженими. Однак, це зазвичай використовується як лема при доведенні теореми і тому вимагає окремого доведення.
Наприклад, якщо , перетин всіх дорівнює . З іншої сторони, послідовність відкритих обмежених множин так і послідовність необмежено замкнених множин мають порожній перетин. Всі ці послідовності є правильно вкладеними.
Цей варіант теореми узагальнюється на випадок , множина n-елементних векторів дійсних чисел, але не узагальнюється на випадок довільних метричних просторів. Наприклад, у просторі раціональних чисел множини
є замкненими і обмеженими, але їх перетин є порожнім.
Зауважимо, що це не суперечить ні топологічному твердженню, так як множини не є компактними, ні варіанту нижче, так як раціональні числа не є повними відносно звичайної метрики.
Простий наслідок теореми полягає в тому, що множина Кантора є непорожньою, оскільки вона визначається як перетин спадної вкладеної послідовності множин, кожна з яких визначається як об'єднання скінченного числа замкнених інтервалів. З цього випливає, що кожна з цих множин є непорожнью, замкненою і обмеженою. Насправді, множина Кантора містить у собі незлічену кількість точок.
Теорема. Нехай ― послідовність непорожніх, замкнених і обмежених підмножин множини дійсних чисел така, що
Тоді
Доведення. Будь-яка непорожня, замкнена та обмежена підмножина містить мінімальний елемент . Оскільки для кожного маємо
- ,
то звідси випливає, що
- ,
отже, є зростаючою послідовністю, яка містить обмежену множину . За теоремою про монотонну збіжність для обмежених послідовностей дійсних чисел, існує гранична точка
При фіксованому для всіх маємо, що , і оскільки є замкненою, а є граничною точкою, то з цього випливає, що . Вибір є довільним, тому належить , що і треба було довести.
Варіант у повних метричних просторах
У повних метричних просторах теорема набуває наступного вигляду:
Теорема. Нехай — повний метричний простір, — послідовність непорожніх, замкнених і вкладених підмножин множини простору , діаметри яких збігаються до нуля
де визначається як
Тому перетин підмножин містить лише одну точку:
для деякої точки .
Схема доведення. Оскільки діаметри прямують до нуля, і діаметр перетину підмножин дорівнює нулю, то він або порожній, або складається з однієї точки. Отже, достатньо показати, що він не є порожнім. Виберемо елемент для кожного . Оскільки діаметр підмножин прямує до нуля, а послідовність є вкладеною, то елементи утворює послідовність Коші. Оскільки метричний простір є повним, то послідовність Коші збігається до деякої точки . Оскільки кожна підмножина є замкненою і є границею послідовності в множині , то точка повинна лежати в множині . Це справедливо для кожного , тому перетин підмножин повинен містити точку . Обернене до цієї теореми твердження також справджується: якщо — метричний простір з властивістю, що перетин будь-якої вкладеної сім’ї непорожніх, замкнених підмножин, діаметри яких прямують до нуля, є непорожнім, то — повний метричний простір. (Для доведення, нехай ( — послідовність Коші в просторі , — замиканням підпослідовності цієї послідовності.)
Див. також
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Jonathan Lewin (2003), An Interactive Introduction to Mathematical Analysis, Cambridge University Press, ISBN
- Weisstein, Eric W. Cantor's Intersection Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Kantora pro peretini ob yednala u sobi dvi blizki mizh soboyu teoremi zagalnoyi topologiyi ta analizu funkciyi dijsnoyi zminnoyi Teorema nazvana na chest Georga Kantora stverdzhuye sho vkladena poslidovnist neporozhnih kompaktnih zamknutih mnozhin maye neporozhnij peretin Topologichne tverdzhennya teoremiTeorema Nehaj X displaystyle X ye topologichnim prostorom i pidmnozhini C n X displaystyle C n subset X ye neporozhnimi zamknutimi i kompaktnimi Nehaj ci pidmnozhini utvoryuyut spadnu poslidovnist pidmnozhin tobto C 0 C 1 C n C n 1 displaystyle C 0 supset C 1 supset cdots supset C n supset C n 1 supset cdots Todi yih peretin ye neporozhnoyu mnozhinoyu k 0 C k displaystyle bigcap k 0 infty C k neq varnothing Inshimi slovami isnuye tochka x X displaystyle x in X yaka nalezhit vsim cim pidmnozhinam tobto x C n displaystyle x in C n dlya vsih cilih n 0 displaystyle n geqslant 0 U vipadku napriklad gausdorfovih prostoriv dovilna kompaktna pidmnozhina ye zamknenoyu tomu u tverdzhenni teoremi vimogoyu zamknutosti mozhna znehtuvati Dovedennya Pripustimo sho C n displaystyle bigcap C n varnothing Poznachimo takozh U n C 0 C n displaystyle U n C 0 backslash C n Oskilki U n C 0 C n displaystyle bigcup U n C 0 backslash big bigcap C n big i C n displaystyle bigcap C n varnothing to U n C 0 displaystyle bigcup U n C 0 Usi pidmnozhini C n displaystyle C n ye zamknutimi u X displaystyle X i tomu takozh zamknutimi v C 0 displaystyle C 0 u indukovanij topologiyi Tomu U n displaystyle U n ye vidkritimi pidmnozhinami C 0 displaystyle C 0 Oskilki U n C 0 displaystyle bigcup U n C 0 tobto U n displaystyle U n ye vidkritim pokrittyam i C 0 X displaystyle C 0 subset X ye kompaktnoyu mnozhinoyu to isnuye skinchenne pidpokrittya U n 1 U n 2 U n m displaystyle U n 1 U n 2 dots U n m Poznachimo M max 1 i m n i displaystyle M max limits 1 leq i leq m n i Todi oskilki U 1 U 2 U n U n 1 displaystyle U 1 subset U 2 subset cdots subset U n subset U n 1 cdots to U n i U M displaystyle bigcup U n i U M Yak naslidok C 0 U n i U M displaystyle C 0 bigcup U n i U M Ale todi C M C 0 U M displaystyle C M C 0 backslash U M varnothing sho superechit pripushennyu u tverdzhenni teoremi Tomu C n displaystyle bigcap C n neq varnothing Tverdzhennya dlya dijsnih chiselV analizi funkciyi dijsnoyi zminnoyi teorema maye takij samij visnovok dlya zamknenih i obmezhenih pidmnozhin mnozhini dijsnih chisel R displaystyle mathbb R Teorema stverdzhuye sho spadna vkladena poslidovnist C k k 0 displaystyle C k k geq 0 neporozhnih zamknenih i obmezhenih pidmnozhin mnozhini dijsnih chisel R displaystyle mathbb R maye neporozhnij peretin Ce tverdzhennya viplivaye iz zagalnogo topologichnogo tverdzhennya u svitli teoremi Gejne Borelya yaka stverdzhuye sho mnozhini dijsnih chisel ye kompaktnimi todi j lishe todi koli voni ye zamknenimi i obmezhenimi Odnak ce zazvichaj vikoristovuyetsya yak lema pri dovedenni teoremi i tomu vimagaye okremogo dovedennya Napriklad yaksho C k 0 1 k displaystyle C k 0 1 k peretin vsih C k k 0 displaystyle C k k geq 0 dorivnyuye 0 displaystyle 0 Z inshoyi storoni poslidovnist vidkritih obmezhenih mnozhin C k 0 1 k displaystyle displaystyle C k 0 1 k tak i poslidovnist neobmezheno zamknenih mnozhin C k k displaystyle C k k infty mayut porozhnij peretin Vsi ci poslidovnosti ye pravilno vkladenimi Cej variant teoremi uzagalnyuyetsya na vipadok R n displaystyle mathbb R n mnozhina n elementnih vektoriv dijsnih chisel ale ne uzagalnyuyetsya na vipadok dovilnih metrichnih prostoriv Napriklad u prostori racionalnih chisel mnozhini C k 2 2 1 k 2 2 1 k displaystyle C k big sqrt 2 sqrt 2 1 k big big sqrt 2 sqrt 2 1 k big ye zamknenimi i obmezhenimi ale yih peretin ye porozhnim Zauvazhimo sho ce ne superechit ni topologichnomu tverdzhennyu tak yak mnozhini C k displaystyle C k ne ye kompaktnimi ni variantu nizhche tak yak racionalni chisla ne ye povnimi vidnosno zvichajnoyi metriki Prostij naslidok teoremi polyagaye v tomu sho mnozhina Kantora ye neporozhnoyu oskilki vona viznachayetsya yak peretin spadnoyi vkladenoyi poslidovnosti mnozhin kozhna z yakih viznachayetsya yak ob yednannya skinchennogo chisla zamknenih intervaliv Z cogo viplivaye sho kozhna z cih mnozhin ye neporozhnyu zamknenoyu i obmezhenoyu Naspravdi mnozhina Kantora mistit u sobi nezlichenu kilkist tochok Teorema Nehaj C k k 0 displaystyle displaystyle C k k geq 0 poslidovnist neporozhnih zamknenih i obmezhenih pidmnozhin mnozhini dijsnih chisel R displaystyle mathbb R taka sho C 0 C 1 C n C n 1 displaystyle C 0 supset C 1 supset cdots C n supset C n 1 cdots Todi k 0 C k displaystyle bigcap k 0 infty C k neq varnothing Dovedennya Bud yaka neporozhnya zamknena ta obmezhena pidmnozhina C k R displaystyle C k subset mathbb R mistit minimalnij element x k displaystyle x k Oskilki dlya kozhnogo k displaystyle k mayemo x k 1 C k 1 C k displaystyle x k 1 in C k 1 subset C k to zvidsi viplivaye sho x k x k 1 displaystyle x k leq x k 1 otzhe x k k 0 displaystyle x k k geq 0 ye zrostayuchoyu poslidovnistyu yaka mistit obmezhenu mnozhinu C 0 displaystyle C 0 Za teoremoyu pro monotonnu zbizhnist dlya obmezhenih poslidovnostej dijsnih chisel isnuye granichna tochka x lim k x k displaystyle x lim k to infty x k Pri fiksovanomu k displaystyle k dlya vsih j k displaystyle j geq k mayemo sho x j C k displaystyle x j in C k i oskilki C k displaystyle C k ye zamknenoyu a x displaystyle x ye granichnoyu tochkoyu to z cogo viplivaye sho x C k displaystyle x in C k Vibir k displaystyle k ye dovilnim tomu x displaystyle x nalezhit k 0 C k displaystyle bigcap k 0 infty C k sho i treba bulo dovesti Variant u povnih metrichnih prostorahU povnih metrichnih prostorah teorema nabuvaye nastupnogo viglyadu Teorema Nehaj X displaystyle X povnij metrichnij prostir C k k 1 displaystyle C k k geq 1 poslidovnist neporozhnih zamknenih i vkladenih pidmnozhin mnozhini prostoru X displaystyle X diametri yakih zbigayutsya do nulya lim k diam C k 0 displaystyle lim k to infty operatorname diam C k 0 de diam C k displaystyle operatorname diam C k viznachayetsya yak diam C k sup d x y x y C k displaystyle operatorname diam C k sup d x y mid x y in C k Tomu peretin pidmnozhin C k displaystyle C k mistit lishe odnu tochku k 1 C k x displaystyle bigcap k 1 infty C k x dlya deyakoyi tochki x X displaystyle x in X Shema dovedennya Oskilki diametri pryamuyut do nulya i diametr peretinu pidmnozhin C k displaystyle C k dorivnyuye nulyu to vin abo porozhnij abo skladayetsya z odniyeyi tochki Otzhe dostatno pokazati sho vin ne ye porozhnim Viberemo element x k C k displaystyle x k in C k dlya kozhnogo k displaystyle k Oskilki diametr pidmnozhin C k displaystyle C k pryamuye do nulya a poslidovnist C k displaystyle C k ye vkladenoyu to elementi x k displaystyle x k utvoryuye poslidovnist Koshi Oskilki metrichnij prostir ye povnim to poslidovnist Koshi zbigayetsya do deyakoyi tochki x displaystyle x Oskilki kozhna pidmnozhina C k displaystyle C k ye zamknenoyu i x displaystyle x ye graniceyu poslidovnosti v mnozhini C k displaystyle C k to tochka x displaystyle x povinna lezhati v mnozhini C k displaystyle C k Ce spravedlivo dlya kozhnogo k displaystyle k tomu peretin pidmnozhin C k displaystyle C k povinen mistiti tochku x displaystyle x Obernene do ciyeyi teoremi tverdzhennya takozh spravdzhuyetsya yaksho X displaystyle X metrichnij prostir z vlastivistyu sho peretin bud yakoyi vkladenoyi sim yi neporozhnih zamknenih pidmnozhin diametri yakih pryamuyut do nulya ye neporozhnim to X displaystyle X povnij metrichnij prostir Dlya dovedennya nehaj x k k 1 displaystyle x k k geq 1 poslidovnist Koshi v prostori X displaystyle X C k displaystyle C k zamikannyam pidposlidovnosti x j j k displaystyle x j j geq k ciyeyi poslidovnosti Div takozhKompaktnij prostirLiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Jonathan Lewin 2003 An Interactive Introduction to Mathematical Analysis Cambridge University Press ISBN 0 521 01718 1 Weisstein Eric W Cantor s Intersection Theorem angl na sajti Wolfram MathWorld