Клітинна гомологія

У математиці, а саме у алгебричній топології клітинною гомологією називається гомологічна теорія для категорії CW-комплексів. Вона узгоджується із сингулярною гомологією і часто дає ефективні методи для її обчислення.

Означення

Якщо ${\displaystyle X}$ є CW-комплексом і ${\displaystyle X_{n}}$ позначає його n-кістяк. Нехай ${\displaystyle {C_{k}}(X_{n},X_{n-1})}$ позначає групу ланцюгового комплексу для відносної гомології пари ${\displaystyle (X_{n},X_{n-1}).}$ Відповідна відносна гомологічна група ${\displaystyle {H_{k}}(X_{n},X_{n-1})}$ є тривіальною групою для ${\displaystyle k\neq n}$ і вільною абелевою групою, генераторами якої є ${\displaystyle n}$-клітини комплекса ${\displaystyle X}$ для ${\displaystyle k=n}$.

Між групами ${\displaystyle {H_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})}$ і ${\displaystyle {H_{n}}(X_{n},X_{n-1})}$ можна задати граничне відображення ${\displaystyle d_{n+1}:H_{n+1}(X_{n+1},X_{n})\to H_{n}(X_{n},X_{n-1})}$ як ${\displaystyle d_{n+1}=j_{n}\circ \partial _{n+1},}$ де ${\displaystyle j_{n}}$ є відображенням із гомологічної групи ${\displaystyle H_{n}(X_{n})}$ на відносну гомологічну групу пари ${\displaystyle H_{n}(X_{n},X_{n-1}),}$ а ${\displaystyle \partial _{n+1}:H_{n+1}(X_{n+1},X_{n})\to H_{n}(X_{n})}$ є зв'язуючим гомоморфізмом у довгій точній послідовності пари ${\displaystyle (X_{n+1},X_{n}).}$

Більш конкретно якщо ${\displaystyle x}$ є елементом ${\displaystyle H_{n}(X_{n})}$ і ${\displaystyle z\in Z_{n}(X_{n})}$ — циклом, що представляє цей елемент, то ${\displaystyle j_{n}(z)}$ є класом гомології образу цього елемента у фактор-групі ${\displaystyle C_{n}(X_{n})/C_{n}(X_{n-1})}$ (цей образ теж буде циклом). Натомість, якщо ${\displaystyle y}$ є елементом ${\displaystyle H_{n+1}(X_{n+1},X_{n})}$ то згідно означень для ${\displaystyle y}$ існує представник ${\displaystyle c\in C_{n+1}(X_{n+1}),}$ для якого ${\displaystyle \partial c=w,}$ де ${\displaystyle w\in C_{n}(X_{n}).}$ Тоді ${\displaystyle \partial w=0}$ у ${\displaystyle C_{n}(X_{n})}$ оскільки граничне відображення цього елемента у ${\displaystyle C_{n}(X_{n})}$ і ${\displaystyle C_{n}(X_{n+1})}$ є однаковими і в ${\displaystyle C_{n}(X_{n+1})}$ елемент ${\displaystyle w}$ є граничним. Натомість у ${\displaystyle C_{n}(X_{n})}$ він може бути не граничним і для нього клас гомології може бути нетривіальним. ${\displaystyle \partial _{n+1}(y)}$ за означенням є класом гомології елемента ${\displaystyle w}$ у ${\displaystyle H_{n}(X_{n})}$.

Для граничних відображень ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$, оскільки згідно означення ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=j_{n-1}\circ \partial _{n}\circ j_{n}\circ \partial _{n+1}}$ і ${\displaystyle \partial _{n}\circ j_{n}=0}$ адже у лівій частині є композиція двох послідовних відображень у довгій точній послідовності пари ${\displaystyle (X_{n},X_{n-1}).}$

Таким чином відносні гомологічні групи і граничні відображення ${\displaystyle d_{n}}$ утворюють ланцюговий комплекс:

${\displaystyle \cdots \to {H_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {H_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {H_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,}$

Гомології цього комплексу і називаються клітинними гомологіями комплексу ${\displaystyle X}$.

Граничні відображення за допомогою степенів відображень

Граничні відображення у комплексі також модна задати за допомогою степенів відображень. А саме, нехай ${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$ є ${\displaystyle n}$-клітиною ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}}$ є її відображенням склеювання. Розглянемо композицію відображень

${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},}$

де перше відображення ідентифікує ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ із ${\displaystyle \partial e_{n}^{\alpha }\ }$, ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ є ${\displaystyle (n-1)}$-клітиною у X, третє відображення ${\displaystyle q}$ є фактор відображенням яке стискає ${\displaystyle X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }}$ у точку (перетворюючи при цьому ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ у сферу ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$), і останнє відображення ідентифікує ${\displaystyle X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)}$ із ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ за допомогою характеристичного відображення ${\displaystyle \Phi _{n-1}^{\beta }}$ клітини ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$.

Тоді граничне відображення

${\displaystyle d_{n}:{H_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {H_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

на відповідному елементі задається формулою

${\displaystyle {d_{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },}$

де ${\displaystyle \deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)}$ є степенем відображення ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }}$ і сума береться за всіма ${\displaystyle (n-1)}$-клітинами у ${\displaystyle X}$, що розглядаються як породжуючі елементи у ${\displaystyle {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$ (оскільки за означенням CW-комплекса образ границі ${\displaystyle n}$клітини при відображенні склеювання належить скінченній кількості ${\displaystyle (n-1)}$-клітин, то усі доданки у сумі крім скінченної кількості будуть нульовими).

Приклади

n-сфера

Для n-вимірної сфери Sⁿ існує клітинне розбиття із двома клітинами, однією 0-клітиною і однією n-клітиною. При цьому n-клітина приєднується за допомогою сталого відображення із ${\displaystyle S^{n-1}}$ на 0-клітину. Оскільки породжуючими елементами груп ${\displaystyle {H_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})}$ є k-клітини у розбитті Sⁿ, то ${\displaystyle {H_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})=\mathbb {Z} }$ для ${\displaystyle k=0,n,}$ а інші групи є тривіальними.

Тому для ${\displaystyle n>1}$, відповідний ланцюговий комплекс є рівним:

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0,}$

і оскільки всі граничні відображення є відображеннями з або на тривіальні групи, вони всі є нульовими гомоморфізмами. Тож клітинні гомологічні групи є:

${\displaystyle H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&k\neq 0,n\end{cases}}.}$

Якщо ${\displaystyle n=1}$, то граничне відображення ${\displaystyle \partial _{1}}$ теж є нульовим, тож формула є справедливою для всіх додатних ${\displaystyle n}$.

Поверхні роду g

За допомогою клітинної гомології можна також обчислити гомології поверхні роду g ${\displaystyle \Sigma _{g}}$. Фундаментальним многокутником ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ є ${\displaystyle 4n}$-кутник і звідси одержується клітинне розбиття ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ із однією 2-клітиною, ${\displaystyle 2n}$ 1-клітинами і однією 0-клітиною. 2-клітина приєднується вздовж границі ${\displaystyle 4n}$-кутника, який містить кожну 1-клітину двічі, в різному порядку. Тому степінь відповідного відображення є рівним нулю. Також відображення склеювання для кожної 1-клітини має степінь рівний 0, оскільки це є відображення із ${\displaystyle S^{0}}$ на 0-клітину. Тож відповідний ланцюговий комплекс є

${\displaystyle \cdots \to 0\xrightarrow {\partial _{3}} \mathbb {Z} \xrightarrow {\partial _{2}} \mathbb {Z} ^{2g}\xrightarrow {\partial _{1}} \mathbb {Z} \to 0,}$

де всі граничні відображення є нульовими. Отже клітинна гомологія поверхні роду g є рівною

${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} ^{2g}&k=1\\\{0\}&k\neq 0,1,2.\end{cases}}}$

Для неорієнтованих поверхонь роду g можна задати клітинне розбиття із 1-єю 0-клітиною, g 1-клітинами, і 1-єю 2-клітиною. Гомологічні групи для цих поверхонь є рівними

${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{g-1}\oplus \mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&\neq 0,1,2.\end{cases}}}$

Тор

Для n-тора ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$ існує клітинне розбиття із 1-єю 0-клітиною, n 1-клітинами, ..., і 1-єю n-клітиною. Ланцюговий комплекс є

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n-1}}\to \cdots \to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{1}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{0}}\to 0}$ і всі граничні відображення є нульовими.

Тому, ${\displaystyle H_{k}((S^{1})^{n})\simeq \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}}$ .

Комплексний проєктивний простір

Якщо ${\displaystyle X}$ не має клітин суміжної розмірності, (тобто якщо у ньому є n-клітини, то немає (n-1)-клітин і (n+1)-клітин), тоді ${\displaystyle H_{n}^{CW}(X)}$ є вільною абелевою групою породженою n-клітинами, для кожного ${\displaystyle n}$.

Комплексний проєктивний простір ${\displaystyle P^{n}\mathbb {C} }$ можна одержати склеюванням 0-клітини, 2-клітини, ... і зрештою (2n)-клітини, тому ${\displaystyle H_{k}(P^{n}\mathbb {C} )=\mathbb {Z} }$ для ${\displaystyle k=0,2,...,2n}$, і ${\displaystyle H_{k}(P^{n}\mathbb {C} )=\{0\}}$ для непарних k.

Дійсний проєктивний простір

Дійсний проєктивний простір ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ має клітинне розбиття із однією ${\displaystyle k}$-клітиною ${\displaystyle e_{k}}$ для всіх ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$. Відображеннями склеювання для цих ${\displaystyle k}$-клітин є подвійне накриття ${\displaystyle \varphi _{k}\colon S^{k-1}\to \mathbb {R} P^{k-1}}$. Тому зокрема ${\displaystyle k}$-кістяк ${\displaystyle \mathbb {R} P_{k}^{n}\cong \mathbb {R} P^{k}}$ для всіх ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$. Також ${\displaystyle C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\cong \mathbb {Z} }$ для всіх ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$.

Для обчислення граничного відображення

${\displaystyle d_{k}\colon H_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\to H_{k-1}(\mathbb {R} P_{k-1}^{n},\mathbb {R} P_{k-2}^{n}),}$

необхідно визначити степінь відображення

${\displaystyle \chi _{k}\colon S^{k-1}{\overset {\varphi _{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}{\overset {q_{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}/\mathbb {R} P^{k-2}\cong S^{k-1}.}$

Для цього слід зауважити, що ${\displaystyle \varphi _{k}^{-1}(\mathbb {R} P^{k-2})=S^{k-2}\subseteq S^{k-1}}$, і для кожної точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} P^{k-1}\setminus \mathbb {R} P^{k-2}}$, прообраз ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\{x\})}$ складається із двох точок, по одній у кожній компоненті зв'язності (відкритій напівсфері) ${\displaystyle S^{k-1}\setminus S^{k-2}}$. Тому для знаходження степеня відображення ${\displaystyle \chi _{k}}$, достатньо знайти локальні степені ${\displaystyle \chi _{k}}$ на кожній із цих відкритих напівсфер. Нехай вони позначаються ${\displaystyle B_{k}}$ і ${\displaystyle {\tilde {B}}_{k}}$. Тоді ${\displaystyle \chi _{k}|_{B_{k}}}$ і ${\displaystyle \chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}}$ є гомеоморфізмами і ${\displaystyle \chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}=\chi _{k}|_{B_{k}}\circ A}$, де ${\displaystyle A}$ є антиподальним відображенням. Степінь ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle S^{k-1}}$ є рівним ${\displaystyle (-1)^{k}}$. Тому можна вважати, що локальний степінь ${\displaystyle \chi _{k}}$ на ${\displaystyle B_{k}}$ є рівним ${\displaystyle 1}$ і тоді локальний степінь ${\displaystyle \chi _{k}}$ на ${\displaystyle {\tilde {B}}_{k}}$ є рівним ${\displaystyle (-1)^{k}}$. Додаючи локальні степені можна одержати значення степеня відображення

${\displaystyle \deg(\chi _{k})=1+(-1)^{k}={\begin{cases}2&k=2j\\0&k=2j+1\end{cases}}.}$

Тоді граничне відображення ${\displaystyle \partial _{k}}$ є множенням на ${\displaystyle \deg(\chi _{k})}$ у групі цілих чисел, і звідси утворюється ланцюговий комплекс:

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow 0,}$

де ${\displaystyle \partial _{n}(a)=2a}$ якщо ${\displaystyle n}$ є парним числом і ${\displaystyle \partial _{n}(a)=0}$ якщо ${\displaystyle n}$ є непарним числом.

Із цього комплексу обчислюється клітинна гомологія для ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$:

${\displaystyle H_{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0{\text{ і }}k=n{\text{ odd}},\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{if }}0<k<n{\text{ odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Інші властивості

• ${\displaystyle n}$-кістяк однозначно визначає всі гомологічні модулі нижчих порядків:

${\displaystyle {H_{k}}(X)\cong {H_{k}}(X_{n})}$

для ${\displaystyle k<n}$.

Еквівалентність клітинної і сингулярної гомологій

Для CW-комплекса гомологічні групи у клітинній гомології є ізоморфними гомологічним групам сингулярної гомології. Якщо для простору існує триангуляція то клітинна гомологія також є ізоморфною симпліційній.

Доведення еквівалентності сингулярної і клітинної гомологій здійснюється за допомогою аналізу точних послідовностей для пари просторів ${\displaystyle (X_{n},X_{n-1})}$ і ланцюгового комплексу із означення клітинної гомології.

Нехай

${\displaystyle \cdots \to H_{r+1}(X_{n},X_{n-1}){\stackrel {\partial }{\to }}H_{r}(X_{n-1}){\stackrel {i}{\to }}H_{r}(X_{n}){\stackrel {j}{\to }}H_{r}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots }$

є частиною точної послідовності пари ${\displaystyle (X_{n},X_{n-1}).}$ Оскільки ${\displaystyle {H_{r}}(X_{n},X_{n-1})=0}$ для ${\displaystyle r\neq n}$ то ${\displaystyle i:H_{r}(X^{n-1})\to H_{r}(X^{n})}$ є ізоморфізмом для ${\displaystyle r\neq n-1,\ n.}$ Тому для ${\displaystyle r>n}$ буде

${\displaystyle H_{r}(X_{n})\cong H_{r}(X_{n-1})\cong \ldots \cong H_{r}{X_{-1}}=0.}$

Звідси також випливає, що відображення ${\displaystyle j:H_{n}(X_{n})\to H_{n}(X_{n},X_{n-1})}$ є ін'єктивним.

Нехай тепер

${\displaystyle H_{n+1}(X_{n+1},X_{n}){\stackrel {\partial _{n+1}}{\to }}H_{n}(X_{n}){\stackrel {j_{n}}{\to }}H_{n}(X_{n},X_{n-1}){\stackrel {\partial _{n}}{\to }}H_{n-1}(X_{n-1}){\stackrel {j_{n-1}}{\to }}H_{n}(X_{n-1},X_{n-2})}$

є частиною ланцюгового комплексу із означення клітинної гомології із проміжними відображеннями. Для спрощення надалі також позначатиметься ${\displaystyle C_{n}:=H_{n}(X_{n},X_{n-1})}$ із відповідними позначеннями для ядер, границь і гомологій цього комплексу.

Оскільки відображення ${\displaystyle j_{n-1}}$ є ін'єктивним, то

${\displaystyle Z_{n}(C)=\ker \partial _{n}=\operatorname {im} j_{n}\cong H_{n}(X^{n})}$

де останній ізоморфізм випливає із ін'єктивності ${\displaystyle j_{n}.}$

Звідси

${\displaystyle H_{n}(C)=Z_{n}(C)/B_{n}(C)\cong H_{n}(X_{n})/\operatorname {im} \partial _{n+1}}$.

Але із довгої точної послідовності для пари ${\displaystyle (X_{n+1},X_{n})}$ випливає, що

${\displaystyle \operatorname {im} \partial _{n+1}=\ker \left[i_{n+1}:H_{n}(X_{n})\to H_{n}(X_{n+1})\right]}$

і тому відповідно

${\displaystyle H_{n}(C)=\operatorname {im} \left[i_{n+1}:H_{n}(X_{n})\to H_{n}(X_{n+1})\right].}$

Але оскільки ${\displaystyle {H_{n}}(X_{n+1},X_{n})=0}$ знову ж використовуючи довгу точну послідовність для пари просторів ${\displaystyle (X_{n+1},X_{n})}$ остаточно ${\displaystyle H_{n}(C)\cong H_{n}(X_{n+1}).}$

Але із вказаних вище ізоморфізмів

${\displaystyle H_{n}(X_{n+1})\cong H_{n}(X_{n+2})\cong H_{n}(X_{n+3})\cong \ldots }$

Це завершує доведення у випадку скінченновимірного комплексу, тобто у випадку ${\displaystyle X=X_{m}}$ для деякого додатного ${\displaystyle m.}$

У нескінченновимірному випадку кожен цикл ${\displaystyle z}$, що представляє елемент у ${\displaystyle H_{n}(X)}$ є формальною скінченною сумою сингулярних симплексів, що є образами неперервних відображень із стандартного симплекса. Оскільки кожен такий образ є компактною множиною то всі вони загалом містяться у деякому скінченному підкомплексі і тому зокрема ${\displaystyle z}$ є елементом ${\displaystyle S_{n}(X_{p})}$ де можна вважати, що ${\displaystyle p>n.}$ Але, як вказано вище ${\displaystyle H_{n}(X_{n+1})\cong H_{n}(X_{p})}$ і тому всі елементи ${\displaystyle H_{n}(X)}$ мають відповідники у ${\displaystyle H_{n}(C)\cong H_{n}(X_{n+1}).}$ Іншими словами існує сюр'єктивний гомоморфізм із ${\displaystyle H_{n}(C)}$ у ${\displaystyle H_{n}(X)}$. Подібним чином, якщо деякий елемент ${\displaystyle H_{n}(X_{n+1})}$ є рівним нулю у ${\displaystyle H_{n}(X)}$, то він має бути нульовим у ${\displaystyle H_{n}(X_{p})}$ і з ${\displaystyle H_{n}(X_{n+1})\cong H_{n}(X_{p})}$ випливає, що сам цей елемент є нулем. Тобто гомоморфізм із ${\displaystyle H_{n}(C)\cong H_{n}(X_{n+1})}$ у ${\displaystyle H_{n}(X)}$ є також ін'єктивним, що завершує доведення еквівалентності.

Узагальнення

Спектральна послідовність Атії — Хірцебруха є аналогічним методом обчислення(ко)гомології для CW-комплекса, для довільної екстраординарної (ко)гомологічної теорії.

Характеристика Ейлера

Для CW-комплексу ${\displaystyle X}$ із скінченно кількістю клітин, нехай ${\displaystyle c_{j}}$ позначає кількість ${\displaystyle j}$-клітин, тобто ранг ${\displaystyle {C_{j}}(X_{j},X_{j-1})}$ як вільної абелевої групи. Характеристика Ейлера комплекса ${\displaystyle X}$ за означенням є рівною

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

Характеристика Ейлера є гомотопним інваріантом. У термінах чисел Бетті для ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {Rank} ({H_{j}}(X)).}$

Це випливає із довгої точної послідовності відносної гомології для трійки ${\displaystyle (X_{n},X_{n-1},\varnothing )}$:

${\displaystyle \cdots \to {H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots .}$

Розбиваючи цю послідовність на короткі точні послідовності можна одержати співвідношення:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},X_{n-1}))+\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )).}$

і такі ж для ${\displaystyle (X_{n-1},X_{n-2},\varnothing )}$, ${\displaystyle (X_{n-2},X_{n-3},\varnothing )}$, і т.д. За індукцією:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\;\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{j},X_{j-1}))=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

Див. також

• CW-комплекс
• Симпліціальна гомологія
• Сингулярні гомології

Література

• Albrecht Dold: Lectures on Algebraic Topology, Springer .
• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press .