Квазірегулярний елемент

У теорії кілець квазірегулярним елементом називається елемент кільця для якого існує так званий квазіобернений елемент. Поняття квазірегулярних елементів зокрема використовуються в означенні радикала Джекобсона. Особливо важливі вони у теорії кілець без одиниці.

Означення

Елемент x кільця (можливо без мультиплікативної одиниці) називається правим квазірегулярним якщо існує елемент y для якого ${\displaystyle x+y-xy=0}$. Елемент x називається лівим квазірегулярним якщо існує елемент y для якого ${\displaystyle x+y-yx=0}$. Елемент y у першому випадку називається правим квазіоберненим, а у другому лівим квазіоберненим до x.

Якщо елемент є і правим і лівим квазірегулярним він називається квазірегулярним елементом.

Якщо в кільці є одиниця, то x є правим квазірегулярним тоді і тільки тоді, коли для елемента 1 - x існує правий обернений. Аналогічно для лівих квазірегулярних елементів.

Справді, нехай x є правим квазірегулярним і ${\displaystyle x+y-xy=0}$. Тоді ${\displaystyle (1-x)(1-y)=1-x-y+xy=1}$ і елемент 1 - y є правим оберненим до 1 - x.

Навпаки, якщо ${\displaystyle (1-x)z=1}$ то ${\displaystyle x+1-z-x(1-z)=x+1-z-x+1+z=0}$ і 1 - z є правим квазіоберненим елементом для x.

Якщо ввести операцію ${\displaystyle x\cdot y=x+y-xy}$, то ${\displaystyle \cdot }$ є асоціативною і відображення ${\displaystyle (R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x}$ є ізоморфізмом моноїдів. Тому, якщо для елемента існують праві і ліві квазіобернені то вони є рівними. Дійсно, оскільки 0 є мультиплікативною одиницею, якщо ${\displaystyle x\cdot y=0=y'\cdot x}$, то ${\displaystyle y=(y'\cdot x)\cdot y=y'\cdot (x\cdot y)=y'}$.

Іноді також елемент x називається правим квазірегулярним якщо існує y для якого ${\displaystyle x+y+xy=0}$, що у випадку кілець з одиницею є еквівалентним існуванню правого оберненого елемента для 1 + x.

Приклади

• Якщо R є кільцем, то 0 (адитивний нейтральний елемент) є квазірегулярним елементом.
• Якщо ${\displaystyle x^{2}}$ є правим (лівим) квазірегулярним елементом, то ${\displaystyle x}$ є правим (лівим) квазірегулярним елементом.

Якщо ${\displaystyle x^{2}+y-x^{2}y=0}$ то ${\displaystyle x+(y-x+xy)-x(y-x+xy)=0}$ і ${\displaystyle y-x+xy}$ є правим квазіоберненим до елемента ${\displaystyle x}$.

• Довільний нільпотентний елемент кільця R є квазірегулярним.

Якщо ${\displaystyle x^{n+1}=0}$, то ${\displaystyle -x-x^{2}-\dotsb -x^{n}}$ є правим і лівим квазіоберненим елементом для x.

• Матриця є квазірегулярним елементом кільця матриць тоді і тільки тоді, коли 1 не є власним значенням для даної матриці.
• Якщо R є кільцем і S = R[[X₁, ..., X_n]] — кільце формальних степеневих рядів від n змінних над R, то елемент кільця S є квазірегулярним якщо і тільки якщо його вільний член є квазірегулярним елементом кільця R.

Див. також

• Обернений елемент
• Радикал Джекобсона

Література

• Херштейн И.Н., Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972
• John Dauns (1994), Modules and rings, Cambridge University Press, ISBN