Лема Віталі про покриттях — твердження у комбінаторній геометрії, що широко використовується в теорії міри.
Лема використовується в доведенні теореми Віталі про покриття, але також має самостійний інтерес. Названа на честь італійського математика Джузеппе Віталі.
Формулювання
Скінченна версія
Нехай — скінченна множина куль, що містяться в d-вимірному евклідовому просторі Rd (або, в більш загальному випадку, в довільному метричному просторі). Тоді існує підмножина з цих куль, в якій кулі попарно не перетинаються, і виконується
де позначає кулю з тим же центром, що і у , але з втричі більшим радіусом радіусом.
Доведення
Припустимо, що множина куль є непорожньою, тобто n > 0. Нехай буде кулею із найбільшим радіусом. За індукцією, нехай обрано кулі Якщо існують кулі із які не перетинаються із жодною із , то виберемо як таку кулю із найбільшим можливим радіусом. Якщо таких куль немає, то приймаємо m := k і завершуємо процес.
Позначимо і доведемо, що для всіх . Це твердження є очевидним для . В іншому випадку існує деяке для якого Bi перетинає і радіус кулі є не меншим, ніж Bi. З нерівності трикутника тоді випливає, що , що завершує доведення.
Нескінченна версія
Нехай — довільна (зліченна або незліченна) множина куль в Rd (або, більш загально, в сепарабельному метричному просторі), для якої
де позначає радіус кулі Bj. Тоді для будь-якого існує зліченна підмножина
куль, що попарно не перетинаються і
Доведення
Нехай F позначає сім'ю всіх куль Bj, j ∈ J у твердженні леми про покриття. Нехай необхідна підсім'я G у F позначається також за допомогою
Доведемо більш точне твердження леми. Нехай F є сім'єю невироджених куль у метричному просторі з обмеженим радіусом. Тоді існує підсім'я G така, що кожна куля B у F має непустий перетин із деякою кулею C у G для якої B ⊂ 5 C. Для сепарабельних метричних просторів (наприклад евклідових просторів) до того ж G є не більш, ніж зліченною.
Нехай R є супремумом радіусів куль із F. Розглянемо розбиття F на Fn, n ≥ 0, що складаються із куль B радіуси яких належать проміжку (2−n−1R, 2−nR]. Можна розглянути послідовність сімей куль Gn, де Gn ⊂ Fn. Спершу позначимо H0 = F0 і G0 деяку максимальну сім'ю куль із H0, що попарно не перетинаються. Для сепарабельного метричного простору очевидно, що G0 є не більш, ніж зліченною . Припускаючи, що G0,...,Gn вже визначені, нехай
і нехай Gn+1 є максимальною сім'єю куль із Hn+1, що попарно не перетинаються. Для сепарабельного метричного простору Gn+1 є не більш, ніж зліченною. Тоді підсім'я
із F задовольняє вказане точне твердження леми: G є сім'єю куль, що попарно не перетинаються і кожна куля B ∈ F перетинає кулю C ∈ G для якої B ⊂ 5 C. Справді, нехай B належить Fn. Тоді або B не належить Hn, звідки n > 0 і B має непустий перетин із G0,...,Gn−1 або B ∈ Hn і з максимальності Gn випливає, що B має непустий перетин із деякою кулею із Gn. У будь-якому випадку B має непустий перетин із кулею C, що належить об'єднанню G0,...,Gn. Радіус кулі C є більшим 2−n−1R, а радіус B не більшим 2−nR, а тому B ⊂ 5 C випливає з нерівності трикутника. Для сепарабельного метричного простору G є зліченною множиною, як зліченне об'єднання зліченних множин.
Зауваження
- У доведенні нескінченної версії у означенні Fn замість 2−n можна використати c−n, c > 1. Тоді замість 5 можна використати константу 1 + 2c. Тобто у твердженні леми про покриття можна замість 5 взяти довільну константу більшу 3.
- У нескінченній версії лема перестає бути вірною, якщо радіуси не є обмеженими: наприклад, це невірно для нескінченної множини куль з цілими додатними радіусами і єдиним центром.
- У найзагальнішому випадку, для довільного метричного простору, вибір максимальної підмножини куль вимагає деякої форми леми Цорна.
Наслідки
- У будь-якому скінченному наборі куль -вимірного евклідового простору, об'єднання яких має об'єм , можна вибрати підмножину куль, що не перетинаються між собою із загальним об'ємом не меншим .
- Коефіцієнт не є оптимальним і оптимальне значення не є відомими.
Примітки
- The optimal constant in Vitali covering lemma
Література
- Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992), Measure Theory and Fine Properties of Functions, Studies in Advanced Mathematics, Boca Raton, FL: CRC Press, с. viii+268, ISBN , MR 1158660, Zbl 0804.28001.
- Falconer, Kenneth J. (1986), The geometry of fractal sets, Cambridge Tracts in Mathematics, т. 85, Cambridge: Cambridge University Press, с. xiv+162, ISBN , MR 0867284, Zbl 0587.28004.
- Lebesgue, Henri (1910), , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 27: 361—450, JFM 41.0457.01, архів оригіналу за 21 квітня 2021, процитовано 29 січня 2020
- Natanson, I. P (1955), Theory of functions of a real variable, New York: Frederick Ungar Publishing Co., с. 277, MR 0067952, Zbl 0064.29102.
- Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). Real analysis. Measure theory, integration, and Hilbert spaces. Princeton Lectures in Analysis, III. Princeton, NJ: Princeton University Press. с. xx+402. ISBN . MR 2129625. Zbl 1081.28001..
- Vitali, Giuseppe (1908) [17 December 1907], Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali, Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (Italian) , 43: 75—92, JFM 39.0101.05.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Lema Vitali pro pokrittyah tverdzhennya u kombinatornij geometriyi sho shiroko vikoristovuyetsya v teoriyi miri Zverhu pochatkova sim ya kul Zelenim vidileni kuli sho ne peretinayutsya sinim vsi inshi Nizhche ta zh diagrama v yakij zeleni kuli potroyeni zauvazhimo sho voni pokrivayut vsi sini kuli Lema vikoristovuyetsya v dovedenni teoremi Vitali pro pokrittya ale takozh maye samostijnij interes Nazvana na chest italijskogo matematika Dzhuzeppe Vitali FormulyuvannyaSkinchenna versiya Nehaj B 1 B n displaystyle B 1 ldots B n skinchenna mnozhina kul sho mistyatsya v d vimirnomu evklidovomu prostori Rd abo v bilsh zagalnomu vipadku v dovilnomu metrichnomu prostori Todi isnuye pidmnozhina B j 1 B j 2 B j m displaystyle B j 1 B j 2 dots B j m z cih kul v yakij kuli poparno ne peretinayutsya i vikonuyetsya B 1 B 2 B n 3 B j 1 3 B j 2 3 B j m displaystyle B 1 cup B 2 cup ldots cup B n subseteq 3B j 1 cup 3B j 2 cup ldots cup 3B j m de 3 B j k displaystyle 3B j k poznachaye kulyu z tim zhe centrom sho i u B j k displaystyle B j k ale z vtrichi bilshim radiusom radiusom Dovedennya Pripustimo sho mnozhina kul ye neporozhnoyu tobto n gt 0 Nehaj B j 1 displaystyle B j 1 bude kuleyu iz najbilshim radiusom Za indukciyeyu nehaj obrano kuli B j 1 B j k displaystyle B j 1 dots B j k Yaksho isnuyut kuli iz B 1 B n displaystyle B 1 dots B n yaki ne peretinayutsya iz zhodnoyu iz B j 1 B j 2 B j k displaystyle B j 1 cup B j 2 cup cdots cup B j k to viberemo yak B j k 1 displaystyle B j k 1 taku kulyu iz najbilshim mozhlivim radiusom Yaksho takih kul nemaye to prijmayemo m k i zavershuyemo proces Poznachimo X k 1 m 3 B j k displaystyle X bigcup k 1 m 3 B j k i dovedemo sho B i X displaystyle B i subset X dlya vsih i 1 2 n displaystyle i 1 2 dots n Ce tverdzhennya ye ochevidnim dlya i j 1 j m displaystyle i in j 1 dots j m V inshomu vipadku isnuye deyake k 1 m displaystyle k in 1 dots m dlya yakogo Bi peretinaye B j k displaystyle B j k i radius kuli B j k displaystyle B j k ye ne menshim nizh Bi Z nerivnosti trikutnika todi viplivaye sho B i 3 B j k X displaystyle B i subset 3 B j k subset X sho zavershuye dovedennya Neskinchenna versiya Nehaj B j j J displaystyle B j mid j in J dovilna zlichenna abo nezlichenna mnozhina kul v Rd abo bilsh zagalno v separabelnomu metrichnomu prostori dlya yakoyi sup r a d B j j J lt displaystyle sup mathrm rad B j mid j in J lt infty de r a d B j displaystyle mathrm rad B j poznachaye radius kuli Bj Todi dlya bud yakogo k gt 3 displaystyle k gt 3 isnuye zlichenna pidmnozhina B j j J k J k J displaystyle B j mid j in J k quad J k subset J kul sho poparno ne peretinayutsya i j J B j j J k k B j displaystyle bigcup j in J B j subseteq bigcup j in J k k B j Dovedennya Nehaj F poznachaye sim yu vsih kul Bj j J u tverdzhenni lemi pro pokrittya Nehaj neobhidna pidsim ya G u F poznachayetsya takozh za dopomogoyu B j j J displaystyle B j j in J Dovedemo bilsh tochne tverdzhennya lemi Nehaj F ye sim yeyu nevirodzhenih kul u metrichnomu prostori z obmezhenim radiusom Todi isnuye pidsim ya G taka sho kozhna kulya B u F maye nepustij peretin iz deyakoyu kuleyu C u G dlya yakoyi B 5 C Dlya separabelnih metrichnih prostoriv napriklad evklidovih prostoriv do togo zh G ye ne bilsh nizh zlichennoyu Nehaj R ye supremumom radiusiv kul iz F Rozglyanemo rozbittya F na Fn n 0 sho skladayutsya iz kul B radiusi yakih nalezhat promizhku 2 n 1R 2 nR Mozhna rozglyanuti poslidovnist simej kul Gn de Gn Fn Spershu poznachimo H0 F0 i G0 deyaku maksimalnu sim yu kul iz H0 sho poparno ne peretinayutsya Dlya separabelnogo metrichnogo prostoru ochevidno sho G0 ye ne bilsh nizh zlichennoyu Pripuskayuchi sho G0 Gn vzhe viznacheni nehaj H n 1 B F n 1 B C C G 0 G 1 G n displaystyle mathbf H n 1 B in mathbf F n 1 B cap C emptyset forall C in mathbf G 0 cup mathbf G 1 cup ldots cup mathbf G n i nehaj Gn 1 ye maksimalnoyu sim yeyu kul iz Hn 1 sho poparno ne peretinayutsya Dlya separabelnogo metrichnogo prostoru Gn 1 ye ne bilsh nizh zlichennoyu Todi pidsim ya G n 0 G n displaystyle mathbf G bigcup n 0 infty mathbf G n dd iz F zadovolnyaye vkazane tochne tverdzhennya lemi G ye sim yeyu kul sho poparno ne peretinayutsya i kozhna kulya B F peretinaye kulyu C G dlya yakoyi B 5 C Spravdi nehaj B nalezhit Fn Todi abo B ne nalezhit Hn zvidki n gt 0 i B maye nepustij peretin iz G0 Gn 1 abo B Hn i z maksimalnosti Gn viplivaye sho B maye nepustij peretin iz deyakoyu kuleyu iz Gn U bud yakomu vipadku B maye nepustij peretin iz kuleyu C sho nalezhit ob yednannyu G0 Gn Radius kuli C ye bilshim 2 n 1R a radius B ne bilshim 2 nR a tomu B 5 C viplivaye z nerivnosti trikutnika Dlya separabelnogo metrichnogo prostoru G ye zlichennoyu mnozhinoyu yak zlichenne ob yednannya zlichennih mnozhin Zauvazhennya U dovedenni neskinchennoyi versiyi u oznachenni Fn zamist 2 n mozhna vikoristati c n c gt 1 Todi zamist 5 mozhna vikoristati konstantu 1 2c Tobto u tverdzhenni lemi pro pokrittya mozhna zamist 5 vzyati dovilnu konstantu bilshu 3 U neskinchennij versiyi lema perestaye buti virnoyu yaksho radiusi ne ye obmezhenimi napriklad ce nevirno dlya neskinchennoyi mnozhini kul z cilimi dodatnimi radiusami i yedinim centrom U najzagalnishomu vipadku dlya dovilnogo metrichnogo prostoru vibir maksimalnoyi pidmnozhini kul vimagaye deyakoyi formi lemi Corna NaslidkiU bud yakomu skinchennomu nabori kul n displaystyle n vimirnogo evklidovogo prostoru ob yednannya yakih maye ob yem V displaystyle V mozhna vibrati pidmnozhinu kul sho ne peretinayutsya mizh soboyu iz zagalnim ob yemom ne menshim 1 3 n V displaystyle tfrac 1 3 n cdot V Koeficiyent 1 3 n displaystyle tfrac 1 3 n ne ye optimalnim i optimalne znachennya ne ye vidomimi PrimitkiThe optimal constant in Vitali covering lemmaLiteraturaEvans Lawrence C Gariepy Ronald F 1992 Measure Theory and Fine Properties of Functions Studies in Advanced Mathematics Boca Raton FL CRC Press s viii 268 ISBN 0 8493 7157 0 MR 1158660 Zbl 0804 28001 Falconer Kenneth J 1986 The geometry of fractal sets Cambridge Tracts in Mathematics t 85 Cambridge Cambridge University Press s xiv 162 ISBN 0 521 25694 1 MR 0867284 Zbl 0587 28004 Lebesgue Henri 1910 Annales Scientifiques de l Ecole Normale Superieure 27 361 450 JFM 41 0457 01 arhiv originalu za 21 kvitnya 2021 procitovano 29 sichnya 2020 Natanson I P 1955 Theory of functions of a real variable New York Frederick Ungar Publishing Co s 277 MR 0067952 Zbl 0064 29102 Stein Elias M Shakarchi Rami 2005 Real analysis Measure theory integration and Hilbert spaces Princeton Lectures in Analysis III Princeton NJ Princeton University Press s xx 402 ISBN 0 691 11386 6 MR 2129625 Zbl 1081 28001 Vitali Giuseppe 1908 17 December 1907 Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali Atti dell Accademia delle Scienze di Torino Italian 43 75 92 JFM 39 0101 05