Теорема Віталі про покриття

Теорема Віталі про покриття у теорії міри стверджує про можливість покриття майже всієї підмножини E у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ сім'єю множин, що взаємно не перетинаються і є частиною «покриття Віталі» множини E.

Покриття майже всієї множини означає за винятком підмножини міри нуль. Початково теорема була доведена для міри Лебега λ_d на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ але існують варіанти теореми для інших мір. Загальне твердження для міри Лебега вперше було дане Лебегом , оригінальний результат Віталі розглядав покриття гіперкубами.

Необхідні означення

Покриття V підмножини E простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ називається покриттям Віталі, якщо для всіх точок x множини E у V існує послідовність множин, що прямує до x, тобто множин, що містять x і діаметр яких прямує до 0.

Якщо V є покриттям Віталі підмножини E деякої відкритої множини у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ то сім'я елементів V, що містяться у цій відкритій множині знову є покриттям Віталі множини E.

Для загального твердження необхідно ввести поняття регулярної множини.

Вимірна множина F у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ називається γ-регулярною (в сенсі Лебега), для деякої константи γ > 0, якщо існує відкрита куля B для якої ${\displaystyle B\supset F\ \land \ \lambda _{d}(F)\geqslant \gamma ~\lambda _{d}(B).}$

Сім'я множин називається регулярною якщо всі її множини є γ-регулярними для деякої спільної константи γ. Кулі (для довільної норми) утворюють регулярну сім'ю у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, як і прямокутники у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ відношення сторін яких знаходиться між деяким додатним дійсним числом і його оберненим. Натомість сім'я всіх прямокутників не є регулярною.

Регулярним покриття в сенсі Віталі підмножини E у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ називається сім'я V підмножин ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ така, що для всіх точок x у E, існує регулярна послідовність множин V, яка «прямує до x» (константа регулярності може при цьому не бути однаковою для всіх x).

Твердження для міри Лебега

Нехай E (не обов'язково вимірна) підмножина у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ і V є регулярним покриттям в сенсі Віталі множини E замкнутими підмножинами. Тоді у V можна вибрати не більш, ніж зліченну підсім'ю D множин, що взаємно не перетинаються і для якої

${\displaystyle \lambda _{d}(E\setminus \cup _{F\in D}F)=0.}$

Доведення для випадку, якщо елементами V є замкнуті кулі

Без втрати загальності можна припустити, що всі радіуси куль із V є меншими 1. Згідно леми Віталі про нескінченні покриття у V можна вибрати не більш, ніж зліченну множину куль D елементи якої взаємно не перетинаються і кожна куля B із V перетинається із кулею B' у D для якої B ⊂ 5B'.

Позначимо B(r) відкриту кулю радіуса r. Необхідно довести, що для всіх r > 0, множина Z точок у E∩ B(r), що не належать жодній кулі із D має міру нуль.

Позначимо (F_n) підмножину куль із D які мають непорожній перетин із B(r). Оскільки їх радіуси є меншими 1, то їх об'єднання є підмножиною кулі B(r + 2) і, оскільки вони взаємно не перетинаються, сума їх мір є скінченною. Тому для всіх ε > 0 існує ціле число N для якого

${\displaystyle \sum _{n>N}\lambda _{d}(F_{n})<\varepsilon .}$

Позначимо K = F₀ ∪ … ∪ F_N. Для кожної точки z у Z, оскільки z належить множині E і відкритій множині B(r)\K, вона також належить деякій кулі B із V, що міститься у B(r)\K. Ця куля B є підмножиною 5B' для деякої кулі B' у D, яка має непустий перетин із B ⊂ B(r)\K, тобто є рівною F_n для деякого n > N. Тому ${\displaystyle Z\subset \cup _{n>N}5F_{n}}$ і:

${\displaystyle \lambda _{d}(Z)\leqslant \lambda _{d}(\cup _{n>N}5F_{n})\leqslant \sum _{n>N}\lambda _{d}(5F_{n})=5^{d}\sum _{n>N}\lambda _{d}(F_{n})<5^{d}\varepsilon .}$

Оскільки ці нерівності виконуються для всіх ε > 0, то Z є множиною міри нуль. Загалом твердження випливає з того, що множину E можна покрити зліченною кількістю куль B(r) і об'єднання зліченної кількості множин міри нуль є множиною міри нуль.

Доведення для загального випадку

Припустимо спершу, що E є обмеженою множиною, тобто міститься у деякій відкритій кулі B і в означенні регулярного покриття Віталі можна обрати єдину константу регулярності для всіх точок E.

Без втрати загальності вважатимемо, що всі замкнуті множини із V також містяться у кулі B.

Індуктивно побудуємо послідовність (F_n) (скінченну чи нескінченну) елементів V. Для кожного натурального числа n, позначимо V_n множину елементів V, які не перетинаються із жодним елементом F_k для 0 ≤ k < n. Якщо V_n є порожньою множиною, то побудова завершується. В іншому випадку позначимо δ_n верхню межу мір елементів V_n і виберемо як F_n деякий елемент V_n із мірою більшою, ніж δ_n/2.

Оскільки елементи F_n попарно не перетинаються і містяться у B, сума чисел δ_n є скінченною і зокрема δ_n → 0, а тому жоден з елементів V не належить усім V_n.

Зроблені гіпотези регулярності дозволяють для кожного елемента F у V вибрати кулю B_F, радіуса r_F, що містить F і міра якої є рівною мірі F поділеній на γ. Далі доведення схоже до попереднього: для всіх F у V, якщо n є таким цілим числом, що F належить V_n але має непустий перетин із F_n то з цього перетину випливає, що ${\displaystyle F\subset B_{F}\subset (1+2k)B_{F_{n}},}$ де ${\displaystyle k={\sqrt[{d}]{\frac {2}{\gamma }}}.}$

Це випливає з того, що:

${\displaystyle {\frac {r_{F}}{r_{F_{n}}}}={\sqrt[{d}]{\frac {\lambda _{d}(B_{F})}{\lambda _{d}(B_{F_{n}})}}}\leqslant {\sqrt[{d}]{\frac {\lambda _{d}(F)/\gamma }{\lambda _{d}(F_{n})}}}\leqslant {\sqrt[{d}]{\frac {\delta _{n}/\gamma }{\delta _{n}/2}}}=k.}$

До того ж:

${\displaystyle \lambda _{d}((1+2k)B_{F_{n}})=(1+2k)^{d}\lambda _{d}(B_{F_{n}})\leqslant {\frac {(1+2k)^{d}}{\gamma }}\lambda _{d}(F_{n})\leqslant {\frac {(1+2k)^{d}}{\gamma }}\delta _{n}.}$

Як і в попередньому доведенні звідси випливає, що множина точок E які не належать жодній із множин F_n має міру нуль.

Для загального випадку для кожного цілого числа n > 0, позначимо E_n множину точок E із відстанню не більшою n від початку координат і константою регулярності більшою від 1/n. Достатньо рекурентно задати послідовність (D_n) не більш, ніж зліченних сімей елементів V, таку що об'єднання D містить елементи, що взаємно не перетинаються і для всіх n:

${\displaystyle \lambda _{d}(E_{n}\setminus \cup _{1\leqslant k\leqslant n,F\in D_{k}}F)\leqslant 1/n.}$

Для побудови D_n, достатньо застосувати попередній результат до обмеженої множини

${\displaystyle E_{n}\setminus \cup _{1\leqslant k<n,F\in D_{k}}F}$

регулярного в сенсі Віталі покриття елементами з V константа регулярності яких є більшою 1/n і які попарно не перетинаються із елементами з попередніх D_k.

Твердження для міри Гаусдорфа

Існує варіант теореми для міра Гаусдорфа..

Нехай ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{d}}$ є H^s-вимірною множиною і V є покриттям Віталі множини E. Тоді у V можна вибрати не більш, ніж зліченну сім'ю D множин, що взаємно не перетинаються і для якої або ${\displaystyle H^{s}(E\setminus \cup _{U\in D}U)=0}$ або ${\displaystyle \sum _{U\in D}\mathrm {diam} (U)^{s}=\infty .}$}

Якщо додатково E має скінченну s-міру Гаусдорфа то для всіх ε > 0, можна вибрати D так, що:

${\displaystyle H^{s}(E)\leqslant \sum _{U\in D}\mathrm {diam} (U)^{s}+\varepsilon .}$

Примітки

1. Lebesgue, Henri (1910), Sur l'intégration des fonctions discontinues, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 27: 361—450, JFM 41.0457.01
2. Saks, 1937, § IV.3
3. Saks, Stanislaw (1937), Theory of the Integral (англ.), Dover, с. 106
4. Pollard, David (2001), A User's Guide to Measure Theoretic Probability, CUP, с. 68, ISBN 
5. Falconer K. J. The geometry of fractal sets. ст. 11

Див. також

• Лема Віталі про покриття

Література

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992), Measure Theory and Fine Properties of Functions, Studies in Advanced Mathematics, Boca Raton, FL: CRC Press, с. viii+268, ISBN , MR 1158660, Zbl 0804.28001.
• Falconer, Kenneth J. (1986), The geometry of fractal sets, Cambridge Tracts in Mathematics, т. 85, Cambridge: Cambridge University Press, с. xiv+162, ISBN , MR 0867284, Zbl 0587.28004.
• Lebesgue, Henri (1910), Sur l'intégration des fonctions discontinues, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 27: 361—450, JFM 41.0457.01
• Natanson, I. P (1955), Theory of functions of a real variable, New York: Frederick Ungar Publishing Co., с. 277, MR 0067952, Zbl 0064.29102.
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). Real analysis. Measure theory, integration, and Hilbert spaces. Princeton Lectures in Analysis, III. Princeton, NJ: Princeton University Press. с. xx+402. ISBN . MR 2129625. Zbl 1081.28001..
• Vitali, Giuseppe (1908) [17 December 1907], Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali, Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (Italian) , 43: 75—92, JFM 39.0101.05.