Тензор

Те́нзор (від лат. tendere, «тягнутись, простиратися») — математичний об'єкт, що узагальнює такі поняття як скаляр, вектор, ковектор, лінійний оператор і білінійна форма. Вивченням тензорів займається тензорне числення.

Тензор механічних напружень, тензор другого порядку. Компоненти тензора у тривимірній Декартовій системі координат утворюють матрицю
${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\begin{bmatrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$,
стовпцями якої є напруження (сили на одиницю площі), що діють на грані куба e₁, e₂, і e₃.

В деякому базисі тензор представляється у вигляді багатовимірної таблиці ${\displaystyle d\times d\times \cdots \times d}$ (число співмножників збігається з валентністю тензора), заповненої числами (компонентами тензора). При заміні базису компоненти тензора змінюються певним чином, при цьому сам тензор не залежить від вибору базису.

Означення

Тензор рангу (m, n) над векторним простором V є елемент тензорного добутку m просторів V та n спряжених просторів V* (тобто просторів лінійних функціоналів (1-форм) на V)

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau \in T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}}$

Сума чисел m+n називається валентністю тензора. Тензор рангу (m, n) також називається m разів контраваріантним та n разів коваріантним.

Означення тензорного об'єкта

Основною властивістю, і фактично означенням, тензора ${\displaystyle T_{ij\cdots }^{kl\cdots }}$ є закон перетворення його компонент при зміні системи координат:

${\displaystyle (1)\qquad {\hat {T}}_{ij\cdots }^{kl\cdots }=\alpha _{k_{1}}^{k}\alpha _{l_{1}}^{l}\cdots \beta _{i}^{i_{1}}\beta _{j}^{j_{1}}\cdots T_{i_{1}j_{1}\cdots }^{k_{1}l_{1}\cdots }}$

де (взаємно обернені) матриці переходу ${\displaystyle \alpha _{j}^{i},\;\beta _{j}^{i}}$ є частковими похідними функцій, що задають нові координати відносно старих та навпаки:

${\displaystyle (2)\qquad \alpha _{j}^{i}={\partial {\hat {x}}^{i} \over \partial x^{j}},\qquad \beta _{j}^{i}={\partial x^{i} \over \partial {\hat {x}}^{j}}}$

Приклади

• Тензор рангу (0,0) є скаляр;
• Тензор рангу (1,0) є вектор;
• Тензор рангу (0,1) є ковектор (коваріантний вектор), тобто елемент простору V*;
• Тензор рангу (0,2) є білінійна форма;
• Тензор рангу (1,1) є лінійний оператор.
• Форма об'єму на ${\displaystyle n}$-мірному лінійному просторі є прикладом антисиметричного тензора рангу ${\displaystyle (0,n)}$ (або ${\displaystyle n}$ раз коваріантного)
• Тензор кривини ${\displaystyle R_{\ jkl}^{i}}$ — приклад тензора рангу ${\displaystyle (1,3)}$, його згортки — тензор Річчі ${\displaystyle R_{ij}}$ і скалярна кривина ${\displaystyle R=R_{ij}g^{ij}}$ — приклади тензорів відповідно рангу ${\displaystyle (0,2)}$ і ${\displaystyle (0,0)}$, тобто останній — скаляр.
• Символ Леві-Чивіти — тензор 3-го рангу ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$.

Тензорні операції

Докладніше: Операції над тензорами

Тензори допускають такі унарні операції:

• Множення на скаляр — виконується покомпонентно;
• Згортка тензора — специфічна тензорна операція, що знижує ранг тензора.

і такі бінарні операції:

• Додавання тензорів однакової валентності та складу індексів — виконується покомпонентно;
• Множення тензорів — добутком тензора рангу (m,n) на тензор рангу (m',n') є тензор рангу (m+m',n+n'), тобто якщо ${\displaystyle \sigma \in T_{n}^{m}}$ і ${\displaystyle \tau \in T_{n'}^{m'}}$, то їх добуток

${\displaystyle \sigma \otimes \tau \in T_{n+n'}^{m+m'}=T_{n}^{m}\otimes T_{n'}^{m'}}$

Тензор як мультилінійна функція

Про тензор рангу (0, n) зручно думати як про функцію ${\displaystyle \ \alpha (v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}$ з ${\displaystyle v_{i}\in V}$, яка лінійна по кожному аргументу ${\displaystyle \ v_{i}}$ (такі функції називаються полілінійними), тобто

${\displaystyle \ \alpha (v_{1},\dots ,cv_{i},\dots ,v_{n})=c\cdot \alpha (v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n}),}$

${\displaystyle \ \alpha (v_{1},\dots ,v_{i}+v_{i}',\dots ,v_{n})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n})+\alpha (v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{n}).}$

Також можна думати і про довільний тензор рангу (n, m), але в цьому випадку треба розглядати функцію

${\displaystyle \ \alpha (w^{1},w^{2},\dots ,w^{n},v_{1},v_{2},\dots ,v_{m}),}$

де ${\displaystyle w^{i}\in V^{*},\;\;v_{i}\in V.}$

Компоненти тензора

Компонентами (координатами) тензора в базисі віднесення ${\displaystyle e_{i}\in V,\ i=1...,dim(V)}$ є числа

${\displaystyle {\tau _{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}^{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}=\tau (e^{j_{1}},e^{j_{2}},\dots ,e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},\dots ,e_{i_{m}})}$

${\displaystyle 1\leq i_{a},\ j_{b}\leq d}$

де ${\displaystyle e^{j}\in V^{*},\ j=1...,d}$ є базис в просторі ${\displaystyle V^{*}\!}$, дуальний базису ${\displaystyle e_{i}\!}$ (тобто ${\displaystyle e^{j}e_{i}=\delta _{i}^{j}}$, де ${\displaystyle \delta _{i}^{j}}$ є символ Кронекера).

Індекси, що відносяться до просторів ${\displaystyle V^{*}\!}$, зображають верхніми індексами і називають контраваріантними, а індекси, що відносяться до просторів ${\displaystyle V\!}$, відповідно зображають знизу і називають коваріантними.

Симетрії

В різного роду застосуваннях часто виникають тензори з певною властивістю симетрії.

Симетричним за двома ко-(контра-)варіантними індексами називається тензор, який задовольняє такій вимозі:

${\displaystyle T({\underline {e^{j_{1}},e^{j_{2}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})=T({\underline {e^{j_{2}},e^{j_{1}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})}$

${\displaystyle (T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{1}},e_{i_{2}}}},...,e_{i_{m}})=T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{2}},e_{i_{1}}}},...,e_{i_{m}}))}$

або в компонентах

${\displaystyle {T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}}={T_{{\underline {j_{2},j_{1}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}},}$

${\displaystyle \quad \forall j_{1},\ j_{2}=1,2...,(dim(V)=dim(V^{*}))}$

${\displaystyle ({T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{1},i_{2}}},...,i_{m}}={T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{2},i_{1}}},...,i_{m}},}$

${\displaystyle \quad \forall i_{1},\ i_{2}=1,2...,(dim(V)=dim(V^{*})))}$.

Аналогічно визначається (або антисиметричність):

${\displaystyle T({\underline {e^{j_{1}},e^{j_{2}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})=-T({\underline {e^{j_{2}},e^{j_{1}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})}$

${\displaystyle (T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{1}},e_{i_{2}}}},...,e_{i_{m}})=-T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{2}},e_{i_{1}}}},...,e_{i_{m}}))}$

або в компонентах

${\displaystyle {T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}}=-{T_{{\underline {j_{2},j_{1}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}},}$

${\displaystyle \quad \forall j_{1},\ j_{2}=1,2...,(\dim(V)=\dim(V^{*}))}$

${\displaystyle ({T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{1},i_{2}}},...,i_{m}}=-{T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{2},i_{1}}},...,i_{m}},}$

${\displaystyle \quad \forall i_{1},\ i_{2}=1,2...,(\dim(V)=\dim(V^{*})))}$.

Симетрія або антисиметрія не обов'язково повинна охоплювати тільки сусідні індекси, вона може включати й індекси з різних місць тензора. Головною умовою є те, що симетрія або антисиметрія може стосуватися тільки індексів одного сорту: ко- або контраваріантних. Симетрії між ко- і контраваріантними індексами тензорів не мають сенсу, оскільки, навіть якщо вони спостерігаються в компонентах, то руйнуються при переході до іншого базису віднесення.

Ці визначення природним чином узагальнюються на випадок більше ніж двох індексів. При цьому за будь-якої перестановки індексів, за якими тензор є симетричним, його дія не змінюється, а при антисиметрії за індексами знак дії тензора змінюється на протилежний для непарних перестановок (що одержуються з початкового розташування індексів непарним числом транспозицій — перестановок двох індексів) і зберігається для парних.

Див. також

• Операції над тензорами
• Структурний тензор

Література

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
• М. А. Разумова, В. М. Хотяїнцев «Основи векторного і тензорного аналізу: навчальний посібник». – Київ: ВПЦ «Київський університет», 2011.--216с.