Унімодулярна ґратка — ціла ґратка з визначником . Останнє еквівалентне тому, що об'єм фундаментальної області ґратки дорівнює .
Визначення
- Ґратка — вільна абелева група скінченного рангу із симетричною білінійною формою .
- Ґратку можна також розглядати як підгрупу в дійсному векторному просторі із симетричною білінійною формою.
- Число називається розмірністю ґратки, це розмірність відповідного дійсного векторного простору; це те саме, що й ранг -модуля , або число твірних вільної групи .
- Ґратка називається цілою, якщо форма набуває тільки цілочисельних значень.
- Норма елемента ґратки визначається як .
- Ґратка називається додатно визначеною або лоренцевою, і так далі, якщо таким є її векторний простір. Зокрема:
- Ґратка є додатно визначеною, якщо норма всіх ненульових елементів додатна.
- Сигнатура ґратки визначається як сигнатура форми на векторному просторі.
- Визначник ґратки — це визначник матриці Грама її базису.
- Ґратка називається унімодулярною, якщо її визначник дорівнює .
- Унімодулярна ґратка називається парною, якщо всі норми її елементів парні.
Приклади
- , а також — унімодулярні ґратки.
- Ґратка E8, ґратка Ліча — парні унімодулярні ґратки.
Властивості
- Для даної ґратки в вектори такі, що для будь-якого також утворюють ґратку звану двоїстою ґраткою до .
- Ціла ґратка унімодулярна тоді й лише тоді, коли її двоїста ґратка є цілою.
- Унімодулярна ґратка тотожна своїй двоїстій, тому унімодулярні ґратки також називаються самодвоїстими.
- Непарні унімодулярні ґратки існують для всіх сигнатур.
- Парна унімодулярна ґратка із сигнатурою існує тоді й лише тоді, коли ділиться на 8.
- Зокрема, парні додатно визначені унімодулярні ґратки існують тільки в розмірностях, кратних 8.
- Тета-функція унімодулярних додатно визначених ґраток є модулярною формою.
Застосування
- Друга група когомологій замкнутих однозв'язних орієнтованих топологічних є унімодулярною ґраткою. Михайло Фрідман показав, що ця ґратка практично визначає многовид: існує єдиний многовид для кожної парної унімодулярної ґратки, і рівно по два для кожної непарної унімодулярної ґратки.
- Зокрема, для нульової форми це приводить до гіпотези Пуанкаре для 4-вимірних топологічних многовидів.
- Теорема Дональдсона свідчить, що якщо многовид є гладким і його ґратка додатно визначена, то вона повинна бути сумою копій .
- Зокрема, що більшість із цих многовидів не має гладкої структури.
Література
- Bacher, Roland; Venkov, Boris (2001), [Unimodular integral lattices without roots in dimensions 27 and 28], у Martinet, Jacques (ред.), Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires [Euclidean lattices, spherical designs and modular forms], Monogr. Enseign. Math. (фр.), т. 37, Geneva: L'Enseignement Mathématique, с. 212—267, ISBN , MR 1878751, Zbl 1139.11319, архів оригіналу за 28 вересня 2007
- Conway, J.H.; Sloane, N.J.A. (1999), Sphere packings, lattices and groups, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, т. 290, With contributions by Bannai, E.; Borcherds, R.E.; Leech, J.; Norton, S.P.; Odlyzko, A.M.; Parker, R.A.; Queen, L.; Venkov, B.B. (вид. Third), New York, NY: , ISBN , MR 0662447, Zbl 0915.52003
- King, Oliver D. (2003), A mass formula for unimodular lattices with no roots, , 72 (242): 839—863, arXiv:math.NT/0012231, doi:10.1090/S0025-5718-02-01455-2, MR 1954971, Zbl 1099.11035
- ; Husemoller, Dale (1973), Symmetric Bilinear Forms, , т. 73, New York-Heidelberg: , doi:10.1007/978-3-642-88330-9, ISBN , MR 0506372, Zbl 0292.10016
- (1973), A Course in Arithmetic, , т. 7, , doi:10.1007/978-1-4684-9884-4, ISBN , MR 0344216, Zbl 0256.12001
Посилання
- Каталог унімодулярних ґраток Ніла Слоуна.
- послідовність A005134 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Unimodulyarna gratka cila gratka z viznachnikom 1 displaystyle pm 1 Ostannye ekvivalentne tomu sho ob yem fundamentalnoyi oblasti gratki dorivnyuye 1 displaystyle 1 ViznachennyaGratka vilna abeleva grupa Zn displaystyle mathbb Z n skinchennogo rangu n displaystyle n iz simetrichnoyu bilinijnoyu formoyu displaystyle Gratku mozhna takozh rozglyadati yak pidgrupu v dijsnomu vektornomu prostori Rn displaystyle mathbb R n iz simetrichnoyu bilinijnoyu formoyu Chislo n displaystyle n nazivayetsya rozmirnistyu gratki ce rozmirnist vidpovidnogo dijsnogo vektornogo prostoru ce te same sho j rang Z displaystyle mathbb Z modulya Zn displaystyle mathbb Z n abo chislo tvirnih vilnoyi grupi Zn displaystyle mathbb Z n Gratka nazivayetsya ciloyu yaksho forma displaystyle nabuvaye tilki cilochiselnih znachen Norma elementa a displaystyle a gratki viznachayetsya yak a a displaystyle a a Gratka nazivayetsya dodatno viznachenoyu abo lorencevoyu i tak dali yaksho takim ye yiyi vektornij prostir Zokrema Gratka ye dodatno viznachenoyu yaksho norma vsih nenulovih elementiv dodatna Signatura gratki viznachayetsya yak signatura formi na vektornomu prostori Viznachnik gratki ce viznachnik matrici Grama yiyi bazisu Gratka nazivayetsya unimodulyarnoyu yaksho yiyi viznachnik dorivnyuye 1 displaystyle pm 1 Unimodulyarna gratka nazivayetsya parnoyu yaksho vsi normi yiyi elementiv parni PrikladiZ R displaystyle mathbb Z subset mathbb R a takozh Zn Rn displaystyle mathbb Z n subset mathbb R n unimodulyarni gratki Gratka E8 gratka Licha parni unimodulyarni gratki VlastivostiDlya danoyi gratki v L Rn displaystyle Lambda in mathbb R n vektori x Rn displaystyle x in mathbb R n taki sho x a Z displaystyle x a in mathbb Z dlya bud yakogo a L displaystyle a in Lambda takozh utvoryuyut gratku zvanu dvoyistoyu gratkoyu do L displaystyle Lambda Cila gratka unimodulyarna todi j lishe todi koli yiyi dvoyista gratka ye ciloyu Unimodulyarna gratka totozhna svoyij dvoyistij tomu unimodulyarni gratki takozh nazivayutsya samodvoyistimi Neparni unimodulyarni gratki isnuyut dlya vsih signatur Parna unimodulyarna gratka iz signaturoyu m n displaystyle m n isnuye todi j lishe todi koli m n displaystyle m n dilitsya na 8 Zokrema parni dodatno viznacheni unimodulyarni gratki isnuyut tilki v rozmirnostyah kratnih 8 Teta funkciya unimodulyarnih dodatno viznachenih gratok ye modulyarnoyu formoyu ZastosuvannyaDruga grupa kogomologij zamknutih odnozv yaznih oriyentovanih topologichnih ye unimodulyarnoyu gratkoyu Mihajlo Fridman pokazav sho cya gratka praktichno viznachaye mnogovid isnuye yedinij mnogovid dlya kozhnoyi parnoyi unimodulyarnoyi gratki i rivno po dva dlya kozhnoyi neparnoyi unimodulyarnoyi gratki Zokrema dlya nulovoyi formi ce privodit do gipotezi Puankare dlya 4 vimirnih topologichnih mnogovidiv Teorema Donaldsona svidchit sho yaksho mnogovid ye gladkim i jogo gratka dodatno viznachena to vona povinna buti sumoyu kopij Z displaystyle mathbb Z Zokrema sho bilshist iz cih mnogovidiv ne maye gladkoyi strukturi LiteraturaBacher Roland Venkov Boris 2001 Unimodular integral lattices without roots in dimensions 27 and 28 u Martinet Jacques red Reseaux euclidiens designs spheriques et formes modulaires Euclidean lattices spherical designs and modular forms Monogr Enseign Math fr t 37 Geneva L Enseignement Mathematique s 212 267 ISBN 2 940264 02 3 MR 1878751 Zbl 1139 11319 arhiv originalu za 28 veresnya 2007 Conway J H Sloane N J A 1999 Sphere packings lattices and groups Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften t 290 With contributions by Bannai E Borcherds R E Leech J Norton S P Odlyzko A M Parker R A Queen L Venkov B B vid Third New York NY Springer Verlag ISBN 0 387 98585 9 MR 0662447 Zbl 0915 52003 King Oliver D 2003 A mass formula for unimodular lattices with no roots 72 242 839 863 arXiv math NT 0012231 doi 10 1090 S0025 5718 02 01455 2 MR 1954971 Zbl 1099 11035 Husemoller Dale 1973 Symmetric Bilinear Forms t 73 New York Heidelberg Springer Verlag doi 10 1007 978 3 642 88330 9 ISBN 3 540 06009 X MR 0506372 Zbl 0292 10016 1973 A Course in Arithmetic t 7 Springer Verlag doi 10 1007 978 1 4684 9884 4 ISBN 0 387 90040 3 MR 0344216 Zbl 0256 12001PosilannyaKatalog unimodulyarnih gratok Nila Slouna poslidovnist A005134 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS