Теорема Ґріна — Тао — теоретико-числове твердження, яке року довели [en] і Теренс Тао, згідно з яким послідовність простих чисел містить арифметичні прогресії довільної довжини. Іншими словами, існують арифметичні прогресії простих чисел, що складаються з k членів, де k може бути будь-яким натуральним числом. Доведення полягає в розширенні теореми Семереді.
Формулювання
Хоча теорема відома лише доведенням самого факту наявності як завгодно довгих прогресій у множині простих чисел, проте є значні посилення цього твердження: по-перше, твердження залишається істинним для довільної множини простих чисел додатної щільності (відносно множини всіх простих чисел); по-друге, є окремі верхні оцінки того, наскільки великими можуть бути елементи найменшої прогресії у множині.
Далі у формулюваннях означає множину простих чисел. Запис
означає
, де логарифм береться
разів.
Теорема Ґріна — Тао Нехай |
У своїй окремій ранішій праці Ґрін довів результат, що стосується функції розподілу множини , але тільки для окремого випадку тричленної прогресії.
Існує стала |
Оскільки необхідна функція асимптотично менша від кількості простих чисел на відрізку , то теорема залишається істинною для нескінченних множин додатної щільності, коли
,
. Таким чином, можна переформулювати останню теорему для фіксованої щільності.
Існує стала |
приклади
- 18 січня 2007 року Ярослав Вроблевський знайшов перший випадок арифметичної прогресії з 24 простих чисел:
- 468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, від n = 0 до 23.
- Тут стала 223 092 870 — це добуток простих чисел, не більших 23 (див. прайморіал).
- 17 травня 2008 року Вроблевський та Раанан Чермоні знайшли послідовність із 25 простих чисел:
- 6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, від n = 0 до 24.
- 12 квітня 2010 року Бенуа Перішон, користуючись програмою Вроблевського та Джефа Рейнолдса в проекті розподілених обчислень PrimeGrid, знайшов арифметичну прогресію з 26 простих чисел:
- 43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, від n = 0 до 25 (послідовність A204189 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
Варіації та узагальнення
2006 року Тао і узагальнили результат до поліноміальних прогресій. Точніше, для будь-яких даних P1, …, Pk однієї змінної m із нульовим сталим членом є нескінченно багато цілих x, m таких, що x + P1(m), …, x + Pk(m) — прості числа. Особливий випадок, коли поліноми — це m, 2m, …, km, тягне за собою попередній результат (існують арифметичні прогресії простих чисел довжини k).
Див. також
Примітки
- ; Tao, Terence (2008), The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics, 167 (2): 481—547, arXiv:math.NT/0404188, doi:10.4007/annals.2008.167.481
- И. Д. Шкредов, Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях [ 2018-07-24 у Wayback Machine.], с. 117.
- (2005), Roth's theorem in the primes, Annals of Mathematics, 161 (3): 1609—1636, arXiv:math.NT/0302311, doi:10.4007/annals.2005.161.1609.
- Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records [ 2014-07-14 у Wayback Machine.].
- Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2008), The primes contain arbitrarily long polynomial progressions, , 201: 213—305, arXiv:math.NT/0610050, doi:10.1007/s11511-008-0032-5.
Посилання
- MathWorld news article on proof(англ.)
- Primes in Arithmetic Progression Records(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Grina Tao teoretiko chislove tverdzhennya yake roku doveli en i Terens Tao zgidno z yakim poslidovnist prostih chisel mistit arifmetichni progresiyi dovilnoyi dovzhini Inshimi slovami isnuyut arifmetichni progresiyi prostih chisel sho skladayutsya z k chleniv de k mozhe buti bud yakim naturalnim chislom Dovedennya polyagaye v rozshirenni teoremi Semeredi FormulyuvannyaHocha teorema vidoma lishe dovedennyam samogo faktu nayavnosti yak zavgodno dovgih progresij u mnozhini prostih chisel prote ye znachni posilennya cogo tverdzhennya po pershe tverdzhennya zalishayetsya istinnim dlya dovilnoyi mnozhini prostih chisel dodatnoyi shilnosti vidnosno mnozhini vsih prostih chisel po druge ye okremi verhni ocinki togo naskilki velikimi mozhut buti elementi najmenshoyi progresiyi u mnozhini Dali u formulyuvannyah P displaystyle mathbb P oznachaye mnozhinu prostih chisel Zapis log k x displaystyle log k x oznachaye log log log x displaystyle log log dots log x de logarifm beretsya k displaystyle k raziv Teorema Grina Tao Nehaj A displaystyle A mnozhina prostih chisel i yiyi shilnist vidnosno prostih dP A limsupN A 1 N P 1 N displaystyle delta mathbb P A lim sup N to infty frac A cap 1 dots N mathbb P cap 1 dots N strogo dodatna Todi dlya dovilnogo k 2 displaystyle k geqslant 2 mnozhina A displaystyle A mistit arifmetichnu progresiyu dovzhini k displaystyle k U svoyij okremij ranishij praci Grin doviv rezultat sho stosuyetsya funkciyi rozpodilu mnozhini A displaystyle A ale tilki dlya okremogo vipadku trichlennoyi progresiyi Isnuye stala c displaystyle c taka sho yaksho dlya mnozhini prostih chisel A 1 N displaystyle A subset 1 dots N vikonano A gt cNlog 5 Nlog Nlog 4 N displaystyle A gt c frac N sqrt log 5 N log N sqrt log 4 N to vona mistit trichlennu arifmetichnu progresiyu Oskilki neobhidna funkciya asimptotichno mensha vid kilkosti prostih chisel na vidrizku 1 n displaystyle 1 n to teorema zalishayetsya istinnoyu dlya neskinchennih mnozhin dodatnoyi shilnosti koli A 1 N gt dNlog N displaystyle A cap 1 dots N gt delta frac N log N d gt 0 displaystyle delta gt 0 Takim chinom mozhna pereformulyuvati ostannyu teoremu dlya fiksovanoyi shilnosti Isnuye stala c displaystyle c taka sho dlya dovilnoyi mnozhini prostih chisel A 1 N displaystyle A subset 1 dots N ta yiyi shilnosti d A 1 N P 1 N displaystyle delta frac A cap 1 dots N mathbb P cap 1 dots N vikonuvatimetsya naslidok yaksho N eee c d2 c d2 displaystyle N geqslant e e e left left c delta 2 right c delta 2 right to A displaystyle A mistit trichlennu arifmetichnu progresiyu prikladi18 sichnya 2007 roku Yaroslav Vroblevskij znajshov pershij vipadok arifmetichnoyi progresiyi z 24 prostih chisel 468 395 662 504 823 205 619 223 092 870 n vid n 0 do 23 Tut stala 223 092 870 ce dobutok prostih chisel ne bilshih 23 div prajmorial 17 travnya 2008 roku Vroblevskij ta Raanan Chermoni znajshli poslidovnist iz 25 prostih chisel 6 171 054 912 832 631 366 384 223 092 870 n vid n 0 do 24 12 kvitnya 2010 roku Benua Perishon koristuyuchis programoyu Vroblevskogo ta Dzhefa Rejnoldsa v proekti rozpodilenih obchislen PrimeGrid znajshov arifmetichnu progresiyu z 26 prostih chisel 43 142 746 595 714 191 23 681 770 223 092 870 n vid n 0 do 25 poslidovnist A204189 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Variaciyi ta uzagalnennya2006 roku Tao i uzagalnili rezultat do polinomialnih progresij Tochnishe dlya bud yakih danih P1 Pk odniyeyi zminnoyi m iz nulovim stalim chlenom ye neskinchenno bagato cilih x m takih sho x P1 m x Pk m prosti chisla Osoblivij vipadok koli polinomi ce m 2m km tyagne za soboyu poperednij rezultat isnuyut arifmetichni progresiyi prostih chisel dovzhini k Div takozhGipoteza Erdesha pro arifmetichni progresiyi Teorema Dirihle pro prosti chisla v arifmetichnij progresiyi Arifmetichna kombinatorika Teorema SemerediPrimitki Tao Terence 2008 The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions Annals of Mathematics 167 2 481 547 arXiv math NT 0404188 doi 10 4007 annals 2008 167 481 I D Shkredov Teorema Semeredi i zadachi ob arifmeticheskih progressiyah 2018 07 24 u Wayback Machine s 117 2005 Roth s theorem in the primes Annals of Mathematics 161 3 1609 1636 arXiv math NT 0302311 doi 10 4007 annals 2005 161 1609 Jens Kruse Andersen Primes in Arithmetic Progression Records 2014 07 14 u Wayback Machine Tao Terence Ziegler Tamar 2008 The primes contain arbitrarily long polynomial progressions 201 213 305 arXiv math NT 0610050 doi 10 1007 s11511 008 0032 5 PosilannyaMathWorld news article on proof angl Primes in Arithmetic Progression Records angl