У теорії множин, дека́ртів добу́ток (прями́й добу́ток) двох множин X та Y — це множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перший компонент належить множині X, а другий — множині Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.
Декартів добуток | |
Названо на честь | Рене Декарт |
---|---|
Досліджується в | теорія множин |
Формула | [1] |
Позначення у формулі | , , і |
Нотація | знак множення |
Підтримується Вікіпроєктом | |
Декартів добуток у Вікісховищі |
Декартів добуток двох множин X та Y позначають як X × Y:
Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}, а множина Y — з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то декартів добуток цих множин є 52-елементною множиною (оскільки 13 × 4 = 52) {(A, червоний), (K, червоний), …, (2, червоний), (A, чорний), …, (3, зелений), (2, зелений)}.
Декартів квадрат та n-арний добуток
Декартів квадрат (бінарний декартів добуток) множини X — декартів добуток X² = X×X.
Декартовим квадратом множини дійсних чисел є двовимірний простір (площина) — множина усіх точок з координатами (x, y), де x та y — дійсні числа (див. Декартова система координат).
Узагальнюючи декартів добуток на випадок n множин X1, X2, …, Xn, отримують n-арний декартів (прямий) добуток множин:
Результатом є множина впорядкованих n-місних кортежів (n-ок, векторів, впорядкованих наборів). Тут i-й член n-ки називається i-ю координатою або i-ю компонентою.
n-арний декартів добуток однієї множини X × … × X позначають також як Xn і називають декартовим (прямим) степенем множини X.
Властивості
Операція декартового добутку не є асоціативною та комутативною, тобто (A × B) × C ≠ A × (B × C), A × B ≠ B × A.
Справедлива така тотожність відносно операції перетину (для об'єднання не справедлива):
Дистрибутивність буде виконуватись для таких операцій:
Для підмножин будуть правильні твердження:
- Якщо , то
- Якщо , то
Проєкції
Проєкцією кортежу A = (x1, x2, …, xn) на i-ту вісь (або i-ю проєкцією) називається i-та координата xi кортежу A, позначається Pri (A) = xi.
Проєкцією кортежу A = (x1, x2, …, xn) на осі з номерами i1, i2,…, ik називається кортеж (xi1, xi2, …, xik), позначається Pri1, i2, …, ik(A).
Приклад: Якщо V = {(a, b, c), (a, c, d), (a, b, d)}, то Pr1V = {a}, Pr2V = {b, c}, Pr2, 3V = {(b, c), (c, d), (b, d)}.
Див. також
Примітки
- 2-6.16 // ISO 80000-2:2019Quantities and units — Part 2: Mathematics — 2 — ISO, 2019. — 36 с.
Джерела
Це незавершена стаття з теорії множин. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi mnozhin deka rtiv dobu tok pryami j dobu tok dvoh mnozhin X ta Y ce mnozhina usih mozhlivih vporyadkovanih par u yakih pershij komponent nalezhit mnozhini X a drugij mnozhini Y Ce ponyattya nazvano na chest vidomogo francuzkogo matematika Rene Dekarta Dekartiv dobutokNazvano na chestRene DekartDoslidzhuyetsya vteoriya mnozhinFormulaA B x y x A y B displaystyle A times B x y mid x in A land y in B 1 Poznachennya u formuliA B displaystyle A times B A displaystyle A B displaystyle B i x y displaystyle x y Notaciyaznak mnozhennyaPidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Dekartiv dobutok u VikishovishiTeoretiko mnozhinni operaciyi A displaystyle overline A dopovnennya A B displaystyle A cup B ob yednannya A B displaystyle A cap B peretin A B displaystyle A setminus B riznicya A B displaystyle A triangle B simetrichna riznicya A B displaystyle A times B dekartiv dobutok Dekartiv dobutok A B displaystyle scriptstyle A times B mnozhin A x y z displaystyle scriptstyle A x y z ta B 1 2 3 displaystyle scriptstyle B 1 2 3 Dekartiv dobutok dvoh mnozhin X ta Y poznachayut yak X Y X Y x y x X y Y displaystyle X times Y x y x in X land y in Y Napriklad yaksho mnozhina X skladayetsya z 13 elementiv A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 a mnozhina Y z 4 elementiv chervonij chornij blakitnij zelenij to dekartiv dobutok cih mnozhin ye 52 elementnoyu mnozhinoyu oskilki 13 4 52 A chervonij K chervonij 2 chervonij A chornij 3 zelenij 2 zelenij Dekartiv kvadrat ta n arnij dobutokDekartiv kvadrat binarnij dekartiv dobutok mnozhini X dekartiv dobutok X X X Dekartovim kvadratom mnozhini dijsnih chisel R displaystyle mathbb R ye dvovimirnij prostir ploshina R2 R R displaystyle mathbb R 2 mathbb R times mathbb R mnozhina usih tochok z koordinatami x y de x ta y dijsni chisla div Dekartova sistema koordinat Uzagalnyuyuchi dekartiv dobutok na vipadok n mnozhin X1 X2 Xn otrimuyut n arnij dekartiv pryamij dobutok mnozhin X1 X2 Xn x1 x2 xn x1 X1 x2 X2 xn Xn displaystyle X 1 times X 2 times cdots times X n x 1 x 2 ldots x n x 1 in X 1 land x 2 in X 2 land cdots land x n in X n Rezultatom ye mnozhina vporyadkovanih n misnih kortezhiv n ok vektoriv vporyadkovanih naboriv Tut i j chlen n ki nazivayetsya i yu koordinatoyu abo i yu komponentoyu n arnij dekartiv dobutok odniyeyi mnozhini X X poznachayut takozh yak Xn i nazivayut dekartovim pryamim stepenem mnozhini X VlastivostiOperaciya dekartovogo dobutku ne ye asociativnoyu ta komutativnoyu tobto A B C A B C A B B A Spravedliva taka totozhnist vidnosno operaciyi peretinu dlya ob yednannya ne spravedliva A B C D A C B D displaystyle A cap B times C cap D A times C cap B times D Distributivnist bude vikonuvatis dlya takih operacij A B C A B A C displaystyle A times B cap C A times B cap A times C A B C A B A C displaystyle A times B cup C A times B cup A times C A B C A B A C displaystyle A times B setminus C A times B setminus A times C A B A B A B A B displaystyle overline A times B overline A times overline B cup overline A times B cup A times overline B Dlya pidmnozhin budut pravilni tverdzhennya Yaksho A B displaystyle A subseteq B to A C B C displaystyle A times C subseteq B times C Yaksho A B displaystyle A B neq emptyset to A B C D A C B D displaystyle A times B subseteq C times D iff A subseteq C land B subseteq D ProyekciyiProyekciyeyu kortezhu A x1 x2 xn na i tu vis abo i yu proyekciyeyu nazivayetsya i ta koordinata xi kortezhu A poznachayetsya Pri A xi Proyekciyeyu kortezhu A x1 x2 xn na osi z nomerami i1 i2 ik nazivayetsya kortezh xi1 xi2 xik poznachayetsya Pri1 i2 ik A Priklad Yaksho V a b c a c d a b d to Pr1V a Pr2V b c Pr2 3V b c c d b d Div takozhZalishkovo skinchenna grupa Dobutok grafiv Dekartiv dobutok grafiv Pryamij dobutok grupPrimitki2 6 16 ISO 80000 2 2019Quantities and units Part 2 Mathematics 2 ISO 2019 36 s d Track Q109490582d Track Q15028DzherelaKantor G Trudy po teorii mnozhestv Moskva Nauka 1985 Ce nezavershena stattya z teoriyi mnozhin Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi