В геометрії вершина — особливий вид точки, яка описує кут або перетин геометричних фігур.
Визначення
Як кута
Вершиною кута є точка, з якої два промені або відрізки починаються, в якій зустрічаються або перетинаються (перетин).
Як багатогранника
Вершина — кутова точка багатокутника, багатогранника, або іншого багатовимірного політопа, утвореного перетином ребер або граней об'єкта.
У багатокутника вершина називається «опуклою», якщо внутрішній кут багатокутника, тобто кут, утворений двома ребрами при вершині, з багатокутником всередині кута, менше, ніж π радіан (180°, два прямих кути); в іншому випадку вершина називається «увігнутою» або «рефлексом». В цілому, вершина багатогранника або політопу опукла, якщо перетин багатогранника або політопу з досить малою сферою з центром у вершині опуклий, та увігнута в протилежному випадку.
Вершини багатогранника пов'язані з вершинами графів так, що 1-кістяк багатогранника є граф, вершини якого відповідають вершинам багатогранника, і тому граф можна розглядати як одновимірний симпліційний комплекс, вершини якого є вершинами графу. Однак у теорії графів вершини можуть мати менше два інцидентних ребра, що, як правило, не дозволено для геометричних вершин. Існує також зв'язок між геометричними вершинами і вершинами кривої, її точок екстремальної кривини: в якомусь сенсі вершини багатокутника є точками нескінченної кривини, і якщо багатокутник наближається до гладкої кривої, вершиною буде точка екстремальної кривини поблизу кожного багатокутника. Однак гладка крива, наближена до багатокутника, буде також мати додаткові вершини в точках, де кривина мінімальна.
Як плоскої плитки
Вершиною плоскої плитки або мозаїки є точка, де три або більше плиток стикаються; в цілому, але не завжди, плитки теселяції є багатокутниками та вершинами мозаїки є також вершини її плиток. В цілому, теселяції можна розглядати як свого роду топологічний клітинний комплекс, так само як грані багатогранника або політопа; вершинами інших видів комплексів, таких як симпліційні комплекси, є його нуль-вимірні грані.
Головна вершина
Вершина xi простого багатокутника Р є головною вершиною багатокутника, якщо діагональ [x(i−1),x(i+1)] перетинає границю Р тільки в точках x(i−1) та x(i+1). Існують два типи головних вершин: вухо і рот.
Вухо
Кажуть, що головна вершина xi простого багатокутника P — вухо, якщо діагональ [x(i−1),x(i+1)], що відсікає xi, цілком лежить в P. (див. також опуклий многокутник) Теорема про два вуха стверджує, що кожен простий багатокутник має два вуха.
Рот
Кажуть, що головна вершина xi простого багатокутника P — рот, якщо діагональ [x(i−1),x(i+1)] лежить зовні Р.
Кількість вершин багатогранника
Поверхня будь-якого опуклого багатогранника має ейлерову характеристику
де V — число вершин, E — число ребер, і F — число граней. Це рівняння відоме як формула Ейлера для багатогранника. Таким чином, число вершин на дві більше, ніж перевищення кількості ребер над числом граней. Наприклад, куб має 12 ребер, 6 граней і, отже, 8 вершин.
Вершини в комп'ютерній графіці
У комп'ютерній графіці об'єкти часто подаються як триангульовані багатогранники, в яких [en] є пов'язаним не тільки з трьома просторовими координатами, але і з іншою графічною інформацією, необхідною для коректного відображення об'єкта, такою як кольори, властивості відображення, текстури і [en]; ці властивості використовуються при поданні вершинних шейдерів та [en].
Див. також
Посилання
- (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (вид. 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]). New York: Dover Publications.
- (3 vols.): (vol. 1), (vol. 2), (vol. 3). Heath's authoritative translation of Euclid's Elements plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
- Jing, Lanru; Stephansson, Ove (2007). Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. Elsevier Science.
- , Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. (Page 29)
- Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, , (2008). Discrete differential geometry. Birkhäuser Verlag AG. ISBN .
- M.V. Jaric, ed, Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order, Vol 2) , Academic Press, 1989.
- ; (2011). Discrete and Computational Geometry. Princeton University Press. ISBN .
- Meisters, G. H. (1975), Polygons have ears, The American Mathematical Monthly, 82: 648—651, doi:10.2307/2319703, MR 0367792.
- Christen, Martin. . Khronos Group. Архів оригіналу за 12 квітня 2019.
Зовнішні зв'язки
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Vershina V geometriyi vershina osoblivij vid tochki yaka opisuye kut abo peretin geometrichnih figur ViznachennyaYak kuta Vershinoyu kuta nazivayetsya tochka z yakoyi dva vidrizki abo promeni vihodyat razom Vershinoyu kuta ye tochka z yakoyi dva promeni abo vidrizki pochinayutsya v yakij zustrichayutsya abo peretinayutsya peretin Yak bagatogrannika Vershina kutova tochka bagatokutnika bagatogrannika abo inshogo bagatovimirnogo politopa utvorenogo peretinom reber abo granej ob yekta U bagatokutnika vershina nazivayetsya opukloyu yaksho vnutrishnij kut bagatokutnika tobto kut utvorenij dvoma rebrami pri vershini z bagatokutnikom vseredini kuta menshe nizh p radian 180 dva pryamih kuti v inshomu vipadku vershina nazivayetsya uvignutoyu abo refleksom V cilomu vershina bagatogrannika abo politopu opukla yaksho peretin bagatogrannika abo politopu z dosit maloyu sferoyu z centrom u vershini opuklij ta uvignuta v protilezhnomu vipadku Vershini bagatogrannika pov yazani z vershinami grafiv tak sho 1 kistyak bagatogrannika ye graf vershini yakogo vidpovidayut vershinam bagatogrannika i tomu graf mozhna rozglyadati yak odnovimirnij simplicijnij kompleks vershini yakogo ye vershinami grafu Odnak u teoriyi grafiv vershini mozhut mati menshe dva incidentnih rebra sho yak pravilo ne dozvoleno dlya geometrichnih vershin Isnuye takozh zv yazok mizh geometrichnimi vershinami i vershinami krivoyi yiyi tochok ekstremalnoyi krivini v yakomus sensi vershini bagatokutnika ye tochkami neskinchennoyi krivini i yaksho bagatokutnik nablizhayetsya do gladkoyi krivoyi vershinoyu bude tochka ekstremalnoyi krivini poblizu kozhnogo bagatokutnika Odnak gladka kriva nablizhena do bagatokutnika bude takozh mati dodatkovi vershini v tochkah de krivina minimalna Yak ploskoyi plitki Vershinoyu ploskoyi plitki abo mozayiki ye tochka de tri abo bilshe plitok stikayutsya v cilomu ale ne zavzhdi plitki teselyaciyi ye bagatokutnikami ta vershinami mozayiki ye takozh vershini yiyi plitok V cilomu teselyaciyi mozhna rozglyadati yak svogo rodu topologichnij klitinnij kompleks tak samo yak grani bagatogrannika abo politopa vershinami inshih vidiv kompleksiv takih yak simplicijni kompleksi ye jogo nul vimirni grani Golovna vershinaVershina B vuho tomu sho interval mizh S i D povnistyu znahoditsya vseredini poligonu Vershina S rot tomu sho vidkritij vidrizok mizh A i V povnistyu znahoditsya zovni bagatokutnika Vershina xi prostogo bagatokutnika R ye golovnoyu vershinoyu bagatokutnika yaksho diagonal x i 1 x i 1 peretinaye granicyu R tilki v tochkah x i 1 ta x i 1 Isnuyut dva tipi golovnih vershin vuho i rot Vuho Kazhut sho golovna vershina xi prostogo bagatokutnika P vuho yaksho diagonal x i 1 x i 1 sho vidsikaye xi cilkom lezhit v P div takozh opuklij mnogokutnik Teorema pro dva vuha stverdzhuye sho kozhen prostij bagatokutnik maye dva vuha Rot Kazhut sho golovna vershina xi prostogo bagatokutnika P rot yaksho diagonal x i 1 x i 1 lezhit zovni R Kilkist vershin bagatogrannikaPoverhnya bud yakogo opuklogo bagatogrannika maye ejlerovu harakteristiku V E F 2 displaystyle V E F 2 de V chislo vershin E chislo reber i F chislo granej Ce rivnyannya vidome yak formula Ejlera dlya bagatogrannika Takim chinom chislo vershin na dvi bilshe nizh perevishennya kilkosti reber nad chislom granej Napriklad kub maye 12 reber 6 granej i otzhe 8 vershin Vershini v komp yuternij graficiU komp yuternij grafici ob yekti chasto podayutsya yak triangulovani bagatogranniki v yakih en ye pov yazanim ne tilki z troma prostorovimi koordinatami ale i z inshoyu grafichnoyu informaciyeyu neobhidnoyu dlya korektnogo vidobrazhennya ob yekta takoyu yak kolori vlastivosti vidobrazhennya teksturi i en ci vlastivosti vikoristovuyutsya pri podanni vershinnih shejderiv ta en Div takozhVershinna figuraPosilannya 1956 The Thirteen Books of Euclid s Elements vid 2nd ed Facsimile Original publication Cambridge University Press 1925 New York Dover Publications 3 vols ISBN 0 486 60088 2 vol 1 ISBN 0 486 60089 0 vol 2 ISBN 0 486 60090 4 vol 3 Heath s authoritative translation of Euclid s Elements plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text Jing Lanru Stephansson Ove 2007 Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering Theory and Applications Elsevier Science Egon Schulte Abstract Regular Polytopes Cambridge University Press 2002 ISBN 0 521 81496 0 Page 29 Alexander I Bobenko Peter Schroder 2008 Discrete differential geometry Birkhauser Verlag AG ISBN 978 3 7643 8620 7 M V Jaric ed Introduction to the Mathematics of Quasicrystals Aperiodicity and Order Vol 2 ISBN 0 12 040602 0 Academic Press 1989 2011 Discrete and Computational Geometry Princeton University Press ISBN 978 0 691 14553 2 Meisters G H 1975 Polygons have ears The American Mathematical Monthly 82 648 651 doi 10 2307 2319703 MR 0367792 Christen Martin Khronos Group Arhiv originalu za 12 kvitnya 2019 Zovnishni zv yazkiWeisstein Eric W Polygon Vertex angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Polyhedron Vertex angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Principal Vertex angl na sajti Wolfram MathWorld