F₄ (математика)

F₄ — назва однієї з п’яти (компактних або комплексних) виняткових простих груп Лі, а також її алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$. F₄ має 4 ранг і розмірність 52. Група F₄ однозв’язна, а її група зовнішніх автоморфізмів тривіальна. Найпростіше точне лінійне представлення групи F₄, а також її алгебри Лі, 26-вимірно і незвідно.

Алгебра Лі F₄ може бути отримана шляхом додавання до 36-вимірної алгебри Лі so(9) 16 генераторів, що перетворюються як спінори, аналогічно тому, як це робиться в конструюванні E₈.

Алгебра

Кореневі вектори F₄

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$,

${\displaystyle (\pm 1,0,\pm 1,0)}$,

${\displaystyle (\pm 1,0,0,\pm 1)}$,

${\displaystyle (0,\pm 1,\pm 1,0)}$,

${\displaystyle (0,\pm 1,0,\pm 1)}$,

${\displaystyle (0,0,\pm 1,\pm 1)}$,

${\displaystyle (\pm 1,0,0,0)}$,

${\displaystyle (0,\pm 1,0,0)}$,

${\displaystyle (0,0,\pm 1,0)}$,

${\displaystyle (0,0,0,\pm 1)}$,

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right)}$,

і прості додатні кореневі вектори

${\displaystyle (0,1,-1,0)}$,

${\displaystyle (0,0,1,-1)}$,

${\displaystyle (0,0,0,1)}$,

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}$.

Група Вейля/Коксетера

Для даної групи це - група симетрії гіпероктаедра.

Матриця Картана

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}}$

Ґратка симетрії F₄

4-вимірна об'ємноцентрована кубічна ґратка має F₄ як точкову групу симетрії. Це поєднання двох гіперкубічних ґраток, точки кожної з яких лежать у центрах гіперкубів іншої, утворює кільце, називане кільцем кватерніонів Гурвіца. 24 кватерніони Гурвіца з нормою 1 утворюють гіпероктаедр.

Джерела

• John Baez, The Octonions, Section 4.2: F₄, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205 [ 9 грудня 2008 у Wayback Machine.]. On-line HTML варіант [ 14 серпня 2018 у Wayback Machine.](англ.)