У математиці число Салема — дійсне ціле алгебричне число α > 1, всі спряжені якого мають модуль не більший від 1 і, принаймні, одне з них має одиничний модуль. Числа Салема становлять інтерес для діофантових наближень та гармонічного аналізу. Їх названо на честь французького математика Рафаеля Салема.
Властивості
Оскільки число Салема має спряжене число з абсолютним значенням 1, мінімальний многочлен для числа Салема має бути [en]. Звідси випливає, що 1/α також є коренем решта коренів мають абсолютне значення, що дорівнює 1. Як наслідок, число α має бути оборотним елементом (одиницею кільця) в кільці цілих алгебричних чисел, яке є нормою 1.
Кожне число Салема є числом Перрона (цілим алгебричним числом, більшим від 1, модуль якого більший, ніж у всіх його спряжених).
Зв'язок з числами Пізо-Віджаяраґгавана
Найменше відоме число Салема є найбільшим дійсним коренем многочлена Лемера (названого на честь американського математика [en]).
значення якого x ≈ 1,177 628; припускають, що це найменше число Салема і найменша можлива міра Малера для нециклічного многочлена.
Многочлен Лемера є множником коротшого многочлена 12-го степеня,
всі дванадцять коренів якого задовольняють співвідношення
- .
Числа Салема тісно пов'язані з числами Пізо — Віджаяраґгавана (PV-числами). Найменшим із PV-чисел є єдиний дійсний корінь многочлена 3-го степеня
відомий як «пластичне число» і приблизно рівний 1,324718. PV-числа можна використовувати для генерування сімейства чисел Салема, зокрема найменшого з них. Загальний спосіб — взяти найменший многочлен P(x) PV-числа степеня n і його обернений многочлен P*(x) (коефіцієнти якого, грубо кажучи, утворюються «віддзеркаленням» коефіцієнтів многочлена P(x) відносно xn/2) і розв'язати рівняння
щодо цілого n. Віднімаючи одну сторону від іншої, факторизуючи та виключаючи тривіальні множники, можна отримати мінімальний многочлен для деяких чисел Салема. Наприклад, якщо взяти пластичне число, а на місці написаного вище плюс-мінуса вибрати плюс, то:
і для n = 8 отримаємо
де многочлен 10-го степеня — многочлен Лемера. Використовуючи більше значення n, отримаємо сімейство многочленів, один із коренів яких наближається до пластичного числа. Це можна зрозуміти, добуваючи корені n-го степеня з обох сторін рівняння,
- .
Що більше значення n, то більше x наближатиметься до розв'язку x3 − x − 1 = 0. Якщо на місці плюс-мінуса поставити плюс, то корінь х наближається до пластичного числа в протилежному напрямі. Використовуючи мінімальний многочлен наступного найменшого PV-числа
який для n = 7 набуває вигляду
при степені полінома, не згенерованому в попередньому, і має корінь x ≈ 1,216391…, що є п'ятим найменшим відомим числом Салема. Оскільки n прямує до нескінченності, це сімейство, своєю чергою, прямує до більшого дійсного кореня з x4 − x3 − 1 = 0.
Примітки
- Borwein (2002) p.16
Література
- [en]. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. — , 2002. — (CMS Books in Mathematics) — . Chap. 3.
- Boyd, David (2001), number Salem number, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN
- M.J. Mossinghoff. Small Salem numbers. Процитовано 7 січня 2016.
- Salem, R. Algebraic numbers and Fourier analysis. — Boston, MA : [en], 1963. — (Heath mathematical monographs)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici chislo Salema dijsne cile algebrichne chislo a gt 1 vsi spryazheni yakogo mayut modul ne bilshij vid 1 i prinajmni odne z nih maye odinichnij modul Chisla Salema stanovlyat interes dlya diofantovih nablizhen ta garmonichnogo analizu Yih nazvano na chest francuzkogo matematika Rafaelya Salema VlastivostiOskilki chislo Salema maye spryazhene chislo z absolyutnim znachennyam 1 minimalnij mnogochlen dlya chisla Salema maye buti en Zvidsi viplivaye sho 1 a takozh ye korenem reshta koreniv mayut absolyutne znachennya sho dorivnyuye 1 Yak naslidok chislo a maye buti oborotnim elementom odiniceyu kilcya v kilci cilih algebrichnih chisel yake ye normoyu 1 Kozhne chislo Salema ye chislom Perrona cilim algebrichnim chislom bilshim vid 1 modul yakogo bilshij nizh u vsih jogo spryazhenih Zv yazok z chislami Pizo VidzhayaraggavanaNajmenshe vidome chislo Salema ye najbilshim dijsnim korenem mnogochlena Lemera nazvanogo na chest amerikanskogo matematika en P x x 10 x 9 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 1 displaystyle P x x 10 x 9 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 1 znachennya yakogo x 1 177 628 pripuskayut sho ce najmenshe chislo Salema i najmensha mozhliva mira Malera dlya neciklichnogo mnogochlena Mnogochlen Lemera ye mnozhnikom korotshogo mnogochlena 12 go stepenya Q x x 12 x 7 x 6 x 5 1 displaystyle Q x x 12 x 7 x 6 x 5 1 vsi dvanadcyat koreniv yakogo zadovolnyayut spivvidnoshennya x 630 1 x 315 1 x 210 1 x 126 1 2 x 90 1 x 3 1 3 x 2 1 5 x 1 3 x 35 1 x 15 1 2 x 14 1 2 x 5 1 6 x 68 displaystyle x 630 1 frac x 315 1 x 210 1 x 126 1 2 x 90 1 x 3 1 3 x 2 1 5 x 1 3 x 35 1 x 15 1 2 x 14 1 2 x 5 1 6 x 68 Chisla Salema tisno pov yazani z chislami Pizo Vidzhayaraggavana PV chislami Najmenshim iz PV chisel ye yedinij dijsnij korin mnogochlena 3 go stepenya x 3 x 1 displaystyle x 3 x 1 vidomij yak plastichne chislo i priblizno rivnij 1 324718 PV chisla mozhna vikoristovuvati dlya generuvannya simejstva chisel Salema zokrema najmenshogo z nih Zagalnij sposib vzyati najmenshij mnogochlen P x PV chisla stepenya n i jogo obernenij mnogochlen P x koeficiyenti yakogo grubo kazhuchi utvoryuyutsya viddzerkalennyam koeficiyentiv mnogochlena P x vidnosno xn 2 i rozv yazati rivnyannya x n P x P x displaystyle x n P x pm P x shodo cilogo n Vidnimayuchi odnu storonu vid inshoyi faktorizuyuchi ta viklyuchayuchi trivialni mnozhniki mozhna otrimati minimalnij mnogochlen dlya deyakih chisel Salema Napriklad yaksho vzyati plastichne chislo a na misci napisanogo vishe plyus minusa vibrati plyus to x n x 3 x 1 x 3 x 2 1 displaystyle x n x 3 x 1 x 3 x 2 1 i dlya n 8 otrimayemo x 1 x 10 x 9 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 1 0 displaystyle x 1 x 10 x 9 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 1 0 de mnogochlen 10 go stepenya mnogochlen Lemera Vikoristovuyuchi bilshe znachennya n otrimayemo simejstvo mnogochleniv odin iz koreniv yakih nablizhayetsya do plastichnogo chisla Ce mozhna zrozumiti dobuvayuchi koreni n go stepenya z oboh storin rivnyannya x x 3 x 1 1 n x 3 x 2 1 1 n displaystyle x x 3 x 1 1 n pm x 3 x 2 1 1 n Sho bilshe znachennya n to bilshe x nablizhatimetsya do rozv yazku x3 x 1 0 Yaksho na misci plyus minusa postaviti plyus to korin h nablizhayetsya do plastichnogo chisla v protilezhnomu napryami Vikoristovuyuchi minimalnij mnogochlen x 4 x 3 1 displaystyle x 4 x 3 1 nastupnogo najmenshogo PV chisla x n x 4 x 3 1 x 4 x 1 displaystyle x n x 4 x 3 1 x 4 x 1 yakij dlya n 7 nabuvaye viglyadu x 1 x 10 x 6 x 5 x 4 1 0 displaystyle x 1 x 10 x 6 x 5 x 4 1 0 pri stepeni polinoma ne zgenerovanomu v poperednomu i maye korin x 1 216391 sho ye p yatim najmenshim vidomim chislom Salema Oskilki n pryamuye do neskinchennosti ce simejstvo svoyeyu chergoyu pryamuye do bilshogo dijsnogo korenya z x4 x3 1 0 PrimitkiBorwein 2002 p 16Literatura en Computational Excursions in Analysis and Number Theory Springer Verlag 2002 CMS Books in Mathematics ISBN 0 387 95444 9 Chap 3 Boyd David 2001 number Salem number u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 M J Mossinghoff Small Salem numbers Procitovano 7 sichnya 2016 Salem R Algebraic numbers and Fourier analysis Boston MA en 1963 Heath mathematical monographs