Цілими алгебраїчними числами називаються комплексні (і зокрема дійсні) корені многочленів з цілими коефіцієнтами і із старшим коефіцієнтом, рівним одиниці.
Приклади цілих алгебраїчних чисел
- Ґаусові цілі числа.
- Корені з одиниці — корені многочлена над полем комплексних чисел.
- Всі раціональні числа, що входять в , є цілими числами. Іншими словами, жоден нескоротний дріб із знаменником, більшим ніж одиниця, не може бути цілим алгебраїчним числом.
Властивості
- По відношенню до додавання і множення комплексних чисел, цілі алгебраїчні числа утворюють кільце . Очевидно є підкільцем поля алгебраїчних чисел і містить всі звичайні цілі числа. Дане кільце є кільцем Дедекінда.
- Нехай — деяке комплексне число. Розглянемо кільце , породжене додаванням до кільця звичайних цілих чисел . Воно утворене всілякими значеннями , де — многочлен з цілими коефіцієнтами. Тоді має місце наступний критерій: число є цілим алгебраїчним числом тоді і тільки тоді, коли — скінченнопороджена абелева група.
- є цілим алгебраїчним числом тоді і тільки тоді коли існує скінченнопороджений -підмодуль такий що .
- Для кожного алгебраїчного числа існує натуральне число таке, що — ціле алгебраїчне число. Тобто поле алгебраїчних чисел є полем часток кільця цілих алгебраїчних чисел.
- Як і для всіх алгебраїчних чисел для довільного цілого алгебраїчного числа існує мінімальний многочлен, тобто многочлен найменшого можливого степеня із старшим коефіцієнтом рівним 1 для якого виконується f(α) = 0. Для цілих алгебраїчних чисел і тільки для них при цьому всі коефіцієнти цього многочлена насправді будуть цілими числами, тобто Всі інші корені f(x) теж будуть цілими алгебраїчними числами для яких f(x) буде мінімальним многочленом. Такі числа називаються спряженими до .
- Корені многочлена з цілими алгебраїчними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом 1 є цілими алгебраїчними числами, зокрема корінь будь-якого степеня з цілого алгебраїчного числа теж є цілим алгебраїчним числом.
- Кільце цілих алгебраїчних чисел є цілозамкнутим. Воно є цілим замиканням кільця звичайних (раціональних цілих чисел.)
- Кільце цілих алгебраїчних чисел є кільцем Безу.
- Дійсні цілі алгебраїчні числа утворюють всюди щільну підмножину дійсних чисел.
Одиниці (оборотні елементи) кільця цілих алгебраїчних чисел
Ціле алгебраїчне число ε називається алгебраїчною одиницею (коротко — одиницею), якщо воно є оборотним в кільці цілих алгебраїчних чисел, тобто якщо 1/ε — ціле алгебраїчне число. Одиниця ділить будь-яке ціле алгебраїчне число. Число, обернене до одиниці теж є одиницею; числа спряжені з одиницею, є одиницями; кожен дільник одиниці є одиницею; добуток скінченної кількості одиниць є одиницею. Ціле алгебраїчне число буде одиницею тоді і тільки тоді, коли добуток всіх його спряжених рівне . Корені k-го степеня з числа 1 є одиницями, причому кожна з них по модулю рівна 1. Існує нескінченна множина інших одиниць, не рівних по модулю 1. Наприклад, числа і є одиницями як корені многочлена .
Два цілих алгебраїчних числа називаються асоційованими якщо вони відрізняються множником, що є одиницею. Є ще одна важлива відмінність кільця цілих алгебраїчних чисел від кільця цілих раціональних чисел. У першому не можна ввести поняття нерозкладного цілого числа (аналог простого числа). Це випливає хоч би з того, що корінь з будь-якого цілого алгебраїчного числа є цілим алгебраїчним числом.
Посилання
- Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій [ 17 січня 2015 у Wayback Machine.]
- M. Filaseta
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cilimi algebrayichnimi chislami nazivayutsya kompleksni i zokrema dijsni koreni mnogochleniv z cilimi koeficiyentami i iz starshim koeficiyentom rivnim odinici Prikladi cilih algebrayichnih chiselGausovi cili chisla Koreni z odinici koreni mnogochlena x n 1 displaystyle x n 1 nad polem kompleksnih chisel Vsi racionalni chisla sho vhodyat v W displaystyle Omega ye cilimi chislami Inshimi slovami zhoden neskorotnij drib m n displaystyle m n iz znamennikom bilshim nizh odinicya ne mozhe buti cilim algebrayichnim chislom VlastivostiPo vidnoshennyu do dodavannya i mnozhennya kompleksnih chisel cili algebrayichni chisla utvoryuyut kilce W displaystyle Omega Ochevidno W displaystyle Omega ye pidkilcem polya algebrayichnih chisel i mistit vsi zvichajni cili chisla Dane kilce ye kilcem Dedekinda Nehaj u displaystyle u deyake kompleksne chislo Rozglyanemo kilce Z u displaystyle mathbb Z u porodzhene dodavannyam u displaystyle u do kilcya zvichajnih cilih chisel Z displaystyle mathbb Z Vono utvorene vsilyakimi znachennyami f u displaystyle f u de f z displaystyle f z mnogochlen z cilimi koeficiyentami Todi maye misce nastupnij kriterij chislo u displaystyle u ye cilim algebrayichnim chislom todi i tilki todi koli Z u displaystyle mathbb Z u skinchennoporodzhena abeleva grupa a K displaystyle alpha in K ye cilim algebrayichnim chislom todi i tilki todi koli isnuye skinchennoporodzhenij Z displaystyle mathbb Z pidmodul M C displaystyle M subset mathbb C takij sho a M M displaystyle alpha M subseteq M Dlya kozhnogo algebrayichnogo chisla u displaystyle u isnuye naturalne chislo n displaystyle n take sho n u displaystyle nu cile algebrayichne chislo Tobto pole algebrayichnih chisel ye polem chastok kilcya cilih algebrayichnih chisel Yak i dlya vsih algebrayichnih chisel dlya dovilnogo cilogo algebrayichnogo chisla a displaystyle alpha isnuye minimalnij mnogochlen tobto mnogochlen f x Q x displaystyle f x in mathbb Q x najmenshogo mozhlivogo stepenya iz starshim koeficiyentom rivnim 1 dlya yakogo vikonuyetsya f a 0 Dlya cilih algebrayichnih chisel i tilki dlya nih pri comu vsi koeficiyenti cogo mnogochlena naspravdi budut cilimi chislami tobto f x Z x displaystyle f x in mathbb Z x Vsi inshi koreni f x tezh budut cilimi algebrayichnimi chislami dlya yakih f x bude minimalnim mnogochlenom Taki chisla nazivayutsya spryazhenimi do a displaystyle alpha Koreni mnogochlena z cilimi algebrayichnimi koeficiyentami i starshim koeficiyentom 1 ye cilimi algebrayichnimi chislami zokrema korin bud yakogo stepenya z cilogo algebrayichnogo chisla tezh ye cilim algebrayichnim chislom Kilce cilih algebrayichnih chisel ye cilozamknutim Vono ye cilim zamikannyam kilcya Z displaystyle mathbb Z zvichajnih racionalnih cilih chisel Kilce cilih algebrayichnih chisel ye kilcem Bezu Dijsni cili algebrayichni chisla utvoryuyut vsyudi shilnu pidmnozhinu dijsnih chisel Odinici oborotni elementi kilcya cilih algebrayichnih chiselCile algebrayichne chislo e nazivayetsya algebrayichnoyu odiniceyu korotko odiniceyu yaksho vono ye oborotnim v kilci cilih algebrayichnih chisel tobto yaksho 1 e cile algebrayichne chislo Odinicya dilit bud yake cile algebrayichne chislo Chislo obernene do odinici tezh ye odiniceyu chisla spryazheni z odiniceyu ye odinicyami kozhen dilnik odinici ye odiniceyu dobutok skinchennoyi kilkosti odinic ye odiniceyu Cile algebrayichne chislo bude odiniceyu todi i tilki todi koli dobutok vsih jogo spryazhenih rivne 1 displaystyle pm 1 Koreni k go stepenya z chisla 1 ye odinicyami prichomu kozhna z nih po modulyu rivna 1 Isnuye neskinchenna mnozhina inshih odinic ne rivnih po modulyu 1 Napriklad chisla 2 3 displaystyle 2 sqrt 3 i 2 3 displaystyle 2 sqrt 3 ye odinicyami yak koreni mnogochlena x 2 4 x 1 displaystyle x 2 4x 1 Dva cilih algebrayichnih chisla nazivayutsya asocijovanimi yaksho voni vidriznyayutsya mnozhnikom sho ye odiniceyu Ye she odna vazhliva vidminnist kilcya cilih algebrayichnih chisel vid kilcya cilih racionalnih chisel U pershomu ne mozhna vvesti ponyattya nerozkladnogo cilogo chisla analog prostogo chisla Ce viplivaye hoch bi z togo sho korin z bud yakogo cilogo algebrayichnogo chisla ye cilim algebrayichnim chislom PosilannyaYu Drozd Algebrichni chisla Konspekt lekcij 17 sichnya 2015 u Wayback Machine M Filaseta