Фільтр (математика)

Фільтр — в теорії порядку, це підмножина ${\displaystyle \ F}$ частково впорядкованої множини ${\displaystyle (P,\leq ),}$ яка є верхньою множиною спрямованою вниз.

Два фільтри, позначені синім та зеленим кольором,
та ультрафільтр в який вони входять, позначено голубим.

Фільтр — поняття двоїсте до ідеалу.

Визначення

Підмножина F частково впорядкованої множини (P,≤) є фільтром, якщо виконуються умови:

1. ${\displaystyle \forall x\in F,y\in P:x\leq y\Rightarrow y\in F}$ (F є верхньою множиною)
2. ${\displaystyle \forall x,y\in F:\exists z\in F:\;(z\leq x)\land (z\leq y)}$. (F є спрямованою вниз множиною)

Спочатку поняття фільтру виникло для решіток. У випадку решіток, вищенаведене означення еквівалентне наступному твердженню:

Підмножина F решітки (P,≤) є фільтром, тоді і тільки тоді, коли це верхня множина, замкнена щодо застосування операції інфімуму скінченну кількість разів.

Тобто, для будь-яких x, y з F, x ∧ y також належить F.

Поняття двоїсте до фільтру, тобто, те що ми отримаємо, замінивши для фільтру всі ≤ на обернені і ∧ на ∨, це — ідеал.

Найменший фільтр, що містить елемент p називається головним фільтром породженим цим елементом. Формально ${\displaystyle \{x\in P:\;p\leq x\},}$ позначається ${\displaystyle ~\uparrow p.}$

Простий фільтр — фільтр, доповненням якого є ідеал.

Максимальний фільтр чи ультрафільтр — фільтр, для якого не існує більшого фільтра.

Фільтри на множині

Для довільної множини, її булеан є частково-впорядкованою множиною за включенням, таким чином можна вводити поняття фільтра та ідеала для множини.

База фільтра

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ - фільтр на множині ${\displaystyle X}$. Сімейство підмножин ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\subset {\mathfrak {F}}}$ називається базою (базисом) фільтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, якщо кожний елемент фільтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ містить деякий елемент бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, тобто для кожного ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {F}}}$ існує ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ таке, що ${\displaystyle B\subset Y}$. При цьому фільтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ збігається з сімейством усіх можливих надмножин множин з ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Зокрема, фільтри, які мають спільну базу, збігаються. Кажуть також, що база ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ породжує фільтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$

Дві бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ та ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ називаються еквівалентними, якщо будь-який елемент ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ містить у собі деякий елемент ${\displaystyle B'\in {\mathfrak {B}}'}$, і навпаки, будь-який елемент ${\displaystyle B'\in {\mathfrak {B}}'}$ містить у собі деякий елемент ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$

Еквівалентні бази породжують один і той самий фільтр. Серед усіх баз, еквівалентних даній базі ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ існує максимальна за включенням база, а саме, породжений цією базою фільтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$. Таким чином, між класами еквівалентних баз і фільтрами існує природна бієкція.

Порівняння фільтрів

Нехай на множині ${\displaystyle X}$ задані два фільтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$. Кажуть, що фільтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ мажорує фільтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ (${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ сильніший ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ тонший ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$), якщо ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}}$. У цьому випадку також говорять, що фільтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ мажорується фільтром ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ (${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ слабший ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ грубіший ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$).

Говорять, що база ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ сильніше бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, і записують ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}}$, якщо кожний елемент ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ містить у собі деякий елемент ${\displaystyle B'\in {\mathfrak {B}}'}$. База ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ сильніша бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ тоді і тільки тоді, коли фільтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$, породжений базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$, сильніший фільтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, породженого базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ та ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ еквівалентні тоді і тільки тоді, коли одночасно ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}}$ та ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'}$.

Фільтри у топологічних просторах

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ -- топологічний простір і ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ --- фільтр на множині ${\displaystyle X}$. Точка ${\displaystyle a\in X}$ називається границею фільтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, якщо кожний окіл ${\displaystyle V(a)}$ точки ${\displaystyle a}$ належить фільтру ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$. Позначення: ${\displaystyle \lim {\mathfrak {F}}=a}$. Для фільтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, породженого базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, рівність ${\displaystyle \lim {\mathfrak {F}}=a}$ виконується тоді і тільки тоді, коли для кожного околу ${\displaystyle V(a)}$ повністю вміщає деяку множину з ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

У гаусдорфовому топологічному просторі фільтр може мати не більше однієї границі.

Точка ${\displaystyle a\in X}$ називається граничною точкою (точкою дотику, частковою границею) фільтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, якщо ${\displaystyle a}$ належить замиканню кожної множини з ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, тобто ${\displaystyle a\in {\overline {Y}}}$ для всіх ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {F}}}$. Рівносильно, для кожного околу ${\displaystyle V(a)}$ точки ${\displaystyle a}$ і для кожної ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {F}}}$ виконується ${\displaystyle V(a)\cap Y\neq \varnothing }$. Кожна гранична точка ультрафільтра є його границею.

В компактному топологічному просторі кожен фільтр має граничну точку, а кожен ультрафільтр має границю.

Дивись також

• Ідеал (порядок)
• Ультрафільтр

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)