Стискна теорема (теорема про двох поліцейських, англ. squeeze theorem) — теорема в математичному аналізі про границю функції, яка «затиснута» між двома іншими функціями, що мають рівні границі.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk0zTHlVeU9IZ2xOVVV5SlRJNWMybHVKVEk0ZUNVMVJTVXlPQzB4SlRJNUpUSTVMbkJ1Wnk4ek1EQndlQzBsTWpoNEpUVkZNaVV5T1hOcGJpVXlPSGdsTlVVbE1qZ3RNU1V5T1NVeU9TNXdibWM9LnBuZw==.png)
Теорема про стиснення також відома під назвами як теорема про двох поліцейських, теорема про двох карабінерів і теорема про двох жандармів. Інтерпретація полягає в тому, що якщо двоє поліцейських супроводжують п’яного ув’язненого між собою, і обидва офіцери йдуть до камери, то незалежно від того як коливається ув’язнений, він все одно опиниться в камері.
Формулювання
|
- Функції g і h називають верхньою та нижньою межами f відповідно.
- Тут
не мусить бути внутрішньою точкою множини
.
- Схоже твердження справедливе і при
або
.
Доведення
Проведемо доведення із використанням означення (границі функції в точці за Коші), тобто нам потрібно довести, що для кожного дійсного існує дійсне
таке, що для всіх
виконується
. Тобто,
.
З того, що
випливає, що
| ( ) |
і з того, що
випливає, що
| ( ) |
Також маємо, що
,
звідси
.
Покладемо . Тоді, для всіх
, поєднавши (1) та (2), отримаємо
що й треба було довести.
Приклад
Перший приклад
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek13TDFOeGRXVmxlbVZmZEdobGIzSmxiVjlsZUdGdGNHeGxMbk4yWnk4eU5UQndlQzFUY1hWbFpYcGxYM1JvWlc5eVpXMWZaWGhoYlhCc1pTNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Границю
неможливо встановити через закон
бо
не існує.
Однак, з визначення синуса,
Випливає, що
З того, що , за стискною теоремою,
повинен бути 0.
Другий приклад
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekV3TDB4cGJXbDBYM05wYmw5NFgzZ3VjM1puTHpNek1IQjRMVXhwYldsMFgzTnBibDk0WDNndWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Напевно найвідоміші приклади знаходження границь через теорему затискання — це доведення того, що
Перша границя випливає з використання стискної теореми і того факту, що
для x досить близького, але не рівного 0. Правильність якого для додатного x можна побачити за допомогою геометричних міркувань (див. рисунок), які також можна поширити на від’ємне x. Часто цю границю називають першою чудовою границею.
Друга випливає з теореми стиснення і того факту, що
для x досить близького, але не рівного 0. Це можна отримати, замінивши у попередньому факті на
і піднісши отриману нерівність до квадрату.
Ці дві границі використовуються для доведення того, що похідна синуса є косинус. На це спираються виведення похідних для інших тригонометричних функцій.
Третій приклад
Можна показати, що
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlJqTDFSaGJtZGxiblF1YzNGMVpXVjZaUzV6ZG1jdk16TXdjSGd0VkdGdVoyVnVkQzV6Y1hWbFpYcGxMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
На рисунку площа меншого з двох заштрихованих секторів круга дорівнює
оскільки радіус дорівнює , а дуга на одиничному колі має довжину Δθ. Аналогічно, площа більшого з двох заштрихованих секторів дорівнює
Між секторами стиснутий трикутник, основою якого є вертикальний відрізок, який сполучає дві виділені на рисунку точки. Довжина основи трикутника дорівнює , а висота —
. Отже, площа трикутника дорівнює
З нерівностей
випливає
за умови Δθ > 0, а якщо якщо Δθ < 0, то нерівність перевертається. Оскільки перший і третій вирази прямують до при
, а середній вираз прямує до
, то це дає бажаний результат.
Четвертий приклад
Стискна теорема також може використовуватися в багатовимірному аналізі. У цьому випадку функції g та h повинні обмежувати f в околі точки, що цікавить, і вона працює, лише тоді якщо функція f дійсно там має границю. Таким чином, у багатовимірному випадку цю теорему можна використовувати, щоб довести, що функція f має границю в точці, але її не можна використовувати, щоб довести відсутність границі в точці.
не можна знайти, взявши будь-які границі уздовж кривих, які проходять через точку , але оскільки
,
,
,
,
,
,
то за стискною теоремою
.
Теорема про три послідовності
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek15TDFOaGJtUjNhV05vWDJ4bGJXMWhMbk4yWnk4ek1EQndlQzFUWVc1a2QybGphRjlzWlcxdFlTNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Стискна теорема також справедлива для послідовностей як функцій цілого аргументу:
|
У цьому випадку її часто називають теоремою про три послідовності. Доведення схоже як і для функцій дійсного аргументу.
Доведення
Нехай задане. Згідно з умови теореми
,
.
Тоді для всіх маємо:
,
звідки випливає, що
,
що і треба було довести.
Література
- Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — .(укр.)
- Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с. — .(укр.)
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Посилання
- Weisstein, Eric W. Стискна теорема(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Stiskna teorema teorema pro dvoh policejskih angl squeeze theorem teorema v matematichnomu analizi pro granicyu funkciyi yaka zatisnuta mizh dvoma inshimi funkciyami sho mayut rivni granici Vizualizaciya teoremi pro stisnennya dlya funkcij g x x2 displaystyle color OliveGreen g x x 2 f x x2sin 1x displaystyle color Blue f x x 2 sin frac 1 x ta h x x2 displaystyle color Orange h x x 2 pri x 0 displaystyle x to 0 Teorema pro stisnennya takozh vidoma pid nazvami yak teorema pro dvoh policejskih teorema pro dvoh karabineriv i teorema pro dvoh zhandarmiv Interpretaciya polyagaye v tomu sho yaksho dvoye policejskih suprovodzhuyut p yanogo uv yaznenogo mizh soboyu i obidva oficeri jdut do kameri to nezalezhno vid togo yak kolivayetsya uv yaznenij vin vse odno opinitsya v kameri FormulyuvannyaNehaj A R displaystyle A subset mathbb R x0 displaystyle x 0 granichna tochka mnozhini A displaystyle A funkciyi f g i h viznacheni na A displaystyle A dlya yakih vikonuyutsya nastupni umovi g x f x h x displaystyle g x leqslant f x leqslant h x dlya vsih x A displaystyle x in A limx x0g x limx x0h x a displaystyle lim x to x 0 g x lim x to x 0 h x a Todi limx x0f x a displaystyle lim x to x 0 f x a Funkciyi g i h nazivayut verhnoyu ta nizhnoyu mezhami f vidpovidno Tut x0 displaystyle x 0 ne musit buti vnutrishnoyu tochkoyu mnozhini A displaystyle A Shozhe tverdzhennya spravedlive i pri x displaystyle x to infty abo x displaystyle x to infty DovedennyaProvedemo dovedennya iz vikoristannyam oznachennya granici funkciyi v tochci za Koshi tobto nam potribno dovesti sho dlya kozhnogo dijsnogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 isnuye dijsne d gt 0 displaystyle delta gt 0 take sho dlya vsih x A x0 d x0 d x0 displaystyle x in A cap x 0 delta x 0 delta setminus x 0 vikonuyetsya f x a lt e displaystyle f x a lt varepsilon Tobto e gt 0 d gt 0 x A x0 d x0 d x0 f x a lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 exists delta gt 0 forall x in A cap x 0 delta x 0 delta setminus x 0 f x a lt varepsilon Z togo sho limx x0g x a displaystyle lim x to x 0 g x a viplivaye sho e gt 0 d1 gt 0 x A x0 d1 x0 d1 x0 g x a lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 exists delta 1 gt 0 forall x in A cap x 0 delta 1 x 0 delta 1 setminus x 0 g x a lt varepsilon 1 i z togo sho limx x0h x a displaystyle lim x to x 0 h x a viplivaye sho e gt 0 d2 gt 0 x A x0 d2 x0 d2 x0 h x a lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 exists delta 2 gt 0 forall x in A cap x 0 delta 2 x 0 delta 2 setminus x 0 h x a lt varepsilon 2 Takozh mayemo sho g x f x h x displaystyle g x leqslant f x leqslant h x zvidsi g x a f x a h x a displaystyle g x a leqslant f x a leqslant h x a x A displaystyle forall x in A Poklademo d min d1 d2 displaystyle delta min delta 1 delta 2 Todi dlya vsih x A x0 d x0 d x0 displaystyle x in A cap x 0 delta x 0 delta setminus x 0 poyednavshi 1 ta 2 otrimayemo e lt g x a f x a h x a lt e displaystyle varepsilon lt g x a leqslant f x a leqslant h x a lt varepsilon e lt f x a lt e displaystyle varepsilon lt f x a lt varepsilon sho j treba bulo dovesti PrikladPershij priklad x2 sin 1 x zatisnuta yak x pryamuye do 0 Granicyu limx 0x2sin 1x displaystyle lim x to 0 x 2 sin tfrac 1 x nemozhlivo vstanoviti cherez zakon limx a f x g x limx af x limx ag x displaystyle lim x to a f x cdot g x lim x to a f x cdot lim x to a g x bo limx 0sin 1x displaystyle lim x to 0 sin tfrac 1 x ne isnuye Odnak z viznachennya sinusa 1 sin 1x 1 displaystyle 1 leq sin tfrac 1 x leq 1 Viplivaye sho x2 x2sin 1x x2 displaystyle x 2 leq x 2 sin tfrac 1 x leq x 2 Z togo sho limx 0 x2 limx 0x2 0 displaystyle lim x to 0 x 2 lim x to 0 x 2 0 za stisknoyu teoremoyu limx 0x2sin 1x displaystyle lim x to 0 x 2 sin tfrac 1 x povinen buti 0 Drugij priklad Porivnyannya plosh A ADF A sektorADB A ADB 12 tgx 1 x2p p 12 sin x 1 sin xcos x x sin x cos xsin x 1x 1sin x cos x sin xx 1 displaystyle begin aligned amp A triangle ADF geqslant A text sektor ADB geqslant A triangle ADB Rightarrow amp frac 1 2 cdot text tg x cdot 1 geqslant frac x 2 pi cdot pi geq frac 1 2 cdot sin x cdot 1 Rightarrow amp frac sin x cos x geqslant x geqslant sin x Rightarrow amp frac cos x sin x leqslant frac 1 x leqslant frac 1 sin x Rightarrow amp cos x leqslant frac sin x x leqslant 1 end aligned Napevno najvidomishi prikladi znahodzhennya granic cherez teoremu zatiskannya ce dovedennya togo sho limx 0sin xx 1 limx 01 cos xx 0 displaystyle begin aligned amp lim x to 0 frac sin x x 1 10pt amp lim x to 0 frac 1 cos x x 0 end aligned Persha granicya viplivaye z vikoristannya stisknoyi teoremi i togo faktu sho cos x sin xx 1 displaystyle cos x leqslant frac sin x x leqslant 1 dlya x dosit blizkogo ale ne rivnogo 0 Pravilnist yakogo dlya dodatnogo x mozhna pobachiti za dopomogoyu geometrichnih mirkuvan div risunok yaki takozh mozhna poshiriti na vid yemne x Chasto cyu granicyu nazivayut pershoyu chudovoyu graniceyu Druga viplivaye z teoremi stisnennya i togo faktu sho 0 1 cos xx x displaystyle 0 leqslant frac 1 cos x x leqslant x dlya x dosit blizkogo ale ne rivnogo 0 Ce mozhna otrimati zaminivshi sin x displaystyle sin x u poperednomu fakti na 1 cos2 x displaystyle sqrt 1 cos 2 x i pidnisshi otrimanu nerivnist do kvadratu Ci dvi granici vikoristovuyutsya dlya dovedennya togo sho pohidna sinusa ye kosinus Na ce spirayutsya vivedennya pohidnih dlya inshih trigonometrichnih funkcij Tretij priklad Mozhna pokazati sho tg8 1cos2 8 sec2 8 displaystyle text tg theta prime frac 1 cos 2 theta sec 2 theta Na risunku plosha menshogo z dvoh zashtrihovanih sektoriv kruga dorivnyuye D8sec2 82 D82cos2 8 displaystyle frac Delta theta sec 2 theta 2 frac Delta theta 2 cos 2 theta oskilki radius dorivnyuye 1cos 8 displaystyle frac 1 cos theta a duga na odinichnomu koli maye dovzhinu D8 Analogichno plosha bilshogo z dvoh zashtrihovanih sektoriv dorivnyuye D8sec2 8 D8 2 D82cos2 8 D8 displaystyle frac Delta theta sec 2 theta Delta theta 2 frac Delta theta 2 cos 2 theta Delta theta Mizh sektorami stisnutij trikutnik osnovoyu yakogo ye vertikalnij vidrizok yakij spoluchaye dvi vidileni na risunku tochki Dovzhina osnovi trikutnika dorivnyuye tg 8 D8 tg8 displaystyle text tg theta Delta theta text tg theta a visota 1 displaystyle 1 Otzhe plosha trikutnika dorivnyuye tg 8 D8 tg82 displaystyle frac text tg theta Delta theta text tg theta 2 Z nerivnostej D82cos2 8 tg 8 D8 tg82 D82cos2 8 D8 displaystyle frac Delta theta 2 cos 2 theta leqslant frac text tg theta Delta theta text tg theta 2 leqslant frac Delta theta 2 cos 2 theta Delta theta viplivaye 1cos2 8 tg 8 D8 tg8D8 1cos2 8 D8 displaystyle frac 1 cos 2 theta leqslant frac text tg theta Delta theta text tg theta Delta theta leqslant frac 1 cos 2 theta Delta theta za umovi D8 gt 0 a yaksho yaksho D8 lt 0 to nerivnist perevertayetsya Oskilki pershij i tretij virazi pryamuyut do 1cos2 8 displaystyle frac 1 cos 2 theta pri D8 0 displaystyle Delta theta to 0 a serednij viraz pryamuye do tg8 displaystyle text tg theta prime to ce daye bazhanij rezultat Chetvertij priklad Stiskna teorema takozh mozhe vikoristovuvatisya v bagatovimirnomu analizi U comu vipadku funkciyi g ta h povinni obmezhuvati f v okoli tochki sho cikavit i vona pracyuye lishe todi yaksho funkciya f dijsno tam maye granicyu Takim chinom u bagatovimirnomu vipadku cyu teoremu mozhna vikoristovuvati shob dovesti sho funkciya f maye granicyu v tochci ale yiyi ne mozhna vikoristovuvati shob dovesti vidsutnist granici v tochci lim x y 0 0 x2yx2 y2 displaystyle lim x y to 0 0 frac x 2 y x 2 y 2 ne mozhna znajti vzyavshi bud yaki granici uzdovzh krivih yaki prohodyat cherez tochku 0 0 displaystyle 0 0 ale oskilki 0 x2x2 y2 1 displaystyle 0 leqslant frac x 2 x 2 y 2 leqslant 1 y y y displaystyle left y right vert leqslant y leqslant left y right vert y x2yx2 y2 y displaystyle left y right vert leqslant frac x 2 y x 2 y 2 leqslant left y right vert lim x y 0 0 y 0 displaystyle lim x y to 0 0 left y right vert 0 lim x y 0 0 y 0 displaystyle lim x y to 0 0 left y right vert 0 0 lim x y 0 0 x2yx2 y2 0 displaystyle 0 leqslant lim x y to 0 0 frac x 2 y x 2 y 2 leqslant 0 to za stisknoyu teoremoyu lim x y 0 0 x2yx2 y2 0 displaystyle lim x y to 0 0 frac x 2 y x 2 y 2 0 Teorema pro tri poslidovnostiKoli poslidovnist lezhit mizh dvoma inshimi zbizhnimi poslidovnostyami z takoyu zh graniceyu to vona takozh shodit do ciyeyi granici Stiskna teorema takozh spravedliva dlya poslidovnostej yak funkcij cilogo argumentu Nehaj dlya poslidovnostej an n 1 displaystyle a n n 1 infty bn n 1 displaystyle b n n 1 infty i cn n 1 displaystyle c n n 1 infty vikonuyutsya nastupni umovi n 1an bn cn displaystyle forall n geqslant 1 a n leqslant b n leqslant c n limn an limn cn l displaystyle lim n to infty a n lim n to infty c n l Todi limn bn l displaystyle lim n to infty b n l U comu vipadku yiyi chasto nazivayut teoremoyu pro tri poslidovnosti Dovedennya shozhe yak i dlya funkcij dijsnogo argumentu Dovedennya Nehaj e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 zadane Zgidno z umovi teoremi n1 N n n1l e lt an displaystyle exists n 1 in mathbb N forall n geqslant n 1 l varepsilon lt a n n2 N n n2cn lt l e displaystyle exists n 2 in mathbb N forall n geqslant n 2 c n lt l varepsilon Todi dlya vsih n n0 max n1 n2 displaystyle n geqslant n 0 max n 1 n 2 mayemo l e lt an bn cn lt l e displaystyle l varepsilon lt a n leqslant b n leqslant c n lt l varepsilon zvidki viplivaye sho l e lt bn lt l e displaystyle l varepsilon lt b n lt l varepsilon sho i treba bulo dovesti LiteraturaDorogovcev A Ya Matematichnij analiz Chastina 1 K Libid 1993 320 s ISBN 5 325 00380 1 ukr Dorogovcev A Ya Matematichnij analiz Chastina 2 K Libid 1994 304 s ISBN 5 325 00351 X ukr Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr PosilannyaWeisstein Eric W Stiskna teorema angl na sajti Wolfram MathWorld