Теорема де Гуа

Теорема де Гуа — одне з узагальнень теореми Піфагора на старші розмірності. Висічемо з куба піраміду, відрізавши площиною одну з його вершин. Тоді для такої піраміди вірно наступне співвідношення: квадрат площі грані протилежної вершині куба (вершині при прямому куті) дорівнює сумі квадратів площ граней прилеглих до цього кута.

Тетраедр з прямокутною вершиною O

${\displaystyle S_{ABC}^{2}=S_{\color {blue}ABO}^{2}+S_{\color {green}ACO}^{2}+S_{\color {red}BCO}^{2}.}$

Іншими словами, якщо ми замінимо плоский прямий кут тривимірним, відрізки — гранями, а трикутник — пірамідою, то теорема знову виявиться вірною, але не для довжини сторін, а для площ граней отриманої піраміди. Існує узагальнення цієї теореми для N-вимірного простору.

Історія

У 1783 році теорема була опублікована за авторством Жана Поля де Гуа (1713-85), але приблизно в той же час, трохи більш загальне твердження було опубліковано іншим французьким математиком Tinseau d'Amondans (1746–1818). Однак ще раніше вона була відома Рене Декарту (1596–1650) і до нього ^[en] (1580–1635), який, ймовірно, першим відкрив її у 1622 році.

Доведення теореми

Доведення 1

Доведення.  

Виразимо ребра "OA", "OB" і "OC" прямокутного тетраедра через поодинокі координатні вектори ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$ і ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$:

${\displaystyle OA=a{\vec {e}}_{1};\quad OB=b{\vec {e}}_{2};\quad OC=c{\vec {e}}_{3},}$

де ${\displaystyle ~a,b,c}$ - довжини відповідних сторін тетраедра.

Для векторів AB і АС маємо:

${\displaystyle AB=b{\vec {e}}_{2}-a{\vec {e}}_{1};\quad AC=c{\vec {e}}_{3}-a{\vec {e}}_{1}.}$

Оскільки площа трикутника дорівнює половині векторного добутку двох його сторін,

${\displaystyle S_{ABC}={\frac {1}{2}}(b{\vec {e}}_{2}-a{\vec {e}}_{1})\times (c{\vec {e}}_{3}-a{\vec {e}}_{1}).}$

Піднісши останній вираз до квадрату і розкривши дужки з урахуванням того, що попарні векторні добутки одиничних координатних векторів дорівнюють одиниці, отримаємо

${\displaystyle S_{ABC}^{2}={\frac {1}{4}}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}).}$

Площі граней "ABO", "ACO" і "BCO" рівні

${\displaystyle S_{ABO}={\frac {ab}{2}};\quad S_{ACO}={\frac {ac}{2}};\quad S_{BCO}={\frac {bc}{2}},}$

звідки

${\displaystyle S_{ABC}^{2}=S_{ABD}^{2}+S_{ACD}^{2}+S_{BCD}^{2}.}$

Доведення 2

Доведення.  

Відомо, що площа проєкції плоскої фігури на деяку площину дорівнює площі цієї фігури, помноженої на косинус двогранного кута між фігурою і площиною проєкції. Проєкціями трикутника "ABC" на координатні площини є трикутники "ABO", "ACO" і "BCO". Тому

${\displaystyle ~S_{ABO}=S_{ABC}\cos \alpha ;\quad S_{ACO}=S_{ABC}\cos \beta ;\quad S_{BCO}=S_{ABC}\cos \gamma ,}$

де ${\displaystyle ~\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma }$ - напрямні косинуси нормалі до площини "ABC".

Згідно властивості напрямних косинусів

${\displaystyle ~\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,}$

звідки

${\displaystyle ~S_{ABC}^{2}=S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\alpha +S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\beta +S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\gamma }$

і

${\displaystyle S_{ABC}^{2}=S_{ABO}^{2}+S_{ACO}^{2}+S_{BCO}^{2}.}$

Доведення 3

Теорема може бути доведена з формули Герона для площі трикутника і теореми Піфагора.

Узагальнення

Теорема Піфагора і теорема де Гуа є окремим випадком для (n = 2, 3) більш стосовно n-симплексів з прямокутним кутом. Це, в свою чергу, є окремим випадком ще більш загальної теореми, яка може бути сформульована наступним чином.

Нехай P є k-вимірною (площиною) в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (так, що ${\displaystyle k\leqslant n}$) і нехай C є компактною підмножиною P. Для будь-якої підмножини ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ з точно k елементами, нехай ${\displaystyle C_{I}}$ буде (ортогональною проєкцією) C на лінійну оболонку векторів ${\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}}$, де ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ і ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ утворюють стандартний базис в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Тоді

${\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}^{2}(C)=\sum _{I}{\mbox{vol}}_{k}^{2}(C_{I}),}$

де ${\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}(C)}$ — це k-вимірний об'єм C і сума береться по всім підмножинам ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ з рівно k елементами.

Власно кажучи, це є передгільбертовою версією теореми Піфагора, застосованою до (k-го зовнішнього ступеня) n-вимірного Евклідову простору. Теорема де Гуа та ці узагальнення на n-симплекси з прямими кутами відповідають спеціальному випадку, коли k = n−1 та C є (n−1)-симплекс в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ з вершинами на координатних осях.

Див. також

• Піфагорова четвірка

Примітки

1. Weisstein, Eric W. de Gua's theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
2. Hans-Bert Knoop: Ausgewählte Kapitel zur Geschichte der Mathematik. Lecture Notes (University of Düsseldorf), p. 55 (§ 4 Pythagoreische n-Tupel, p. 50-65 [ 4 квітня 2012 у Wayback Machine.]) (German)
3. Theorem 9 of James G. Dowty (2014). Volumes of logistic regression models with applications to model selection. arXiv:1408.0881v3 [math.ST ] [ 15 вересня 2016 у Wayback Machine.]

Література

• Kheyfits, Alexander (2004). The Theorem of Cosines for Pyramids. The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 35 (5): 385—388. JSTOR 4146849. - доведення теореми де Гуа й узагальнення на довільні тетраедри та піраміди.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Теорема Де Гуа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Sergio A. Alvarez: Нотатки про n-мірну теорему Піфагора [ 2 жовтня 2012 у Wayback Machine.], Carnegie Mellon University.
• Теорема Де Гуа та теорема Піфагора у 3-D [ 3 квітня 2013 у Wayback Machine.] — графічні ілюстрації та пов'язані властивості тетраедра.