У статті розглядаються різні формулювання і доводиться еквівалентність таких тверджень Аксіома вибору Теорема Цермело Пр

У статті розглядаються різні формулювання і доводиться еквівалентність таких тверджень:

Еквівалентність цих тверджень слід розуміти в тому сенсі, що будь-якого з них, разом із системою аксіом Цермело — Френкеля (ZF), достатньо, щоб довести інші.

Лема Цорна і принцип максимуму Гаусдорфа

Формулювання леми Цорна.

${\mathcal {ZL}}_{1}.$ Частково впорядкована множина, в якій будь-який ланцюг має верхню грань, містить максимальний елемент.

${\mathcal {ZL}}_{2}.$ Якщо будь-який ланцюг у частково впорядкованій множині $M$ має верхню грань, то будь-який елемент із $M$ підпорядкований деякому максимальному.

${\mathcal {ZL}}_{3}.$ Нехай сімейство множин ${\mathfrak {M}}$ володіє тією властивістю, що об'єднання будь-якого ланцюга множин з ${\mathfrak {M}}$ є знову множиною цього сімейства. Тоді ${\mathfrak {M}}$ містить максимальну множину.

Формулювання принципу максимуму Гаусдорфа (англ. Hausdorff Maximal Principle):

${\mathcal {HM}}_{1}.$ У будь-якій частково впорядкованій множині існує максимальна лінійно впорядкована підмножина.

${\mathcal {HM}}_{2}.$ У частково впорядкованій множині кожен ланцюг міститься в деякому її максимальному ланцюгу.

Еквівалентність цих пропозицій доводитимемо за такою схемою:

{\mathcal {ZL}}_{1}\quad {\overset {(I)}{\Leftrightarrow }}\quad {\mathcal {ZL}}_{2}\quad {\overset {(II)}{\Rightarrow }}\quad {\mathcal {ZL}}_{3}\quad {\overset {(III)}{\Rightarrow }}\quad {\mathcal {HM}}_{2}\quad {\overset {(IV)}{\Rightarrow }}\quad {\mathcal {HM}}_{1}\quad {\overset {(V)}{\Rightarrow }}\quad {\mathcal {ZL}}_{1}

I.\;{\mathcal {ZL}}_{1}{\Leftrightarrow }{\mathcal {ZL}}_{2}

Ясно, що ${\mathcal {ZL}}_{1}$ випливає із ${\mathcal {ZL}}_{2}$ , оскільки в ${\mathcal {ZL}}_{2}$ стверджується більше: існує максимальний елемент, більший від заданого $a$ . І навпаки, нехай $M$ — частково впорядкована множина, в якій будь-який ланцюг має верхню грань, і нехай $a\in M$ . Застосуємо ${\mathcal {ZL}}_{1}$ до множини $M^{'}=\{m\in M\mid m\geqslant a\}$ . Її максимальний елемент ${\overline {a}}$ також є і максимальним елементом $M$ , і, крім того, задовольняє умові $a\leqslant {\overline {a}}$ .

II.\;{\mathcal {ZL}}_{2}{\Rightarrow }{\mathcal {ZL}}_{3}

Сімейство множин ${\mathfrak {M}}$ частково впорядковане за теоретико-множинним відношенням включення $\subseteq$ . Будь-який ланцюг множин $\{M_{\alpha }\}$ має верхню грань — це множина $\bigcup M_{\alpha }$ , яка, за припущенням, належить системі ${\mathfrak {M}}$ . У силу ${\mathcal {ZL}}_{2}$ в сімействі є максимальний елемент, тобто максимальна за включенням множина.

III.\;{\mathcal {ZL}}_{3}{\Rightarrow }{\mathcal {HM}}_{2}

Нехай $M$ — частково впорядкована множина, $C_{0}$ — ланцюг у $M$ , ${\mathfrak {M}}$ — множина всіх ланцюгів у $M$ , що містять $C_{0}$ , упорядкованих відносно включення. Існування максимального ланцюга, що містить $C_{0}$ , тепер випливає із ${\mathcal {ZL}}_{3}$ , стосовно до ${\mathfrak {M}}$ , і того факту, що об'єднання всіх множин ланцюга в ${\mathfrak {M}}$ («ланцюги ланцюгів»), знову є множиною з ${\mathfrak {M}}$ .

IV.\;{\mathcal {HM}}_{2}{\Rightarrow }{\mathcal {HM}}_{1}

Очевидно. ${\mathcal {HM}}_{1}$ — окремий випадок ${\mathcal {HM}}_{2}$ , коли початковий ланцюг — порожня множина $\varnothing$ .

V.\;{\mathcal {HM}}_{1}{\Rightarrow }{\mathcal {ZL}}_{1}

Нехай $M$ — частково впорядкована множина в умові ${\mathcal {ZL}}_{1}$ . Розглянемо максимальний ланцюг $C$ в $M$ , існування якого випливає з ${\mathcal {HM}}_{1}$ . За умовою цей ланцюг має верхню грань ${\overline {a}}$ . Тоді ${\overline {a}}$ є максимальним елементом $M$ , і крім того, належить ланцюгу. Припустивши протилежне, ми прийдемо до суперечності з умовою максимальності $C$ .

Ці міркування доводять еквівалентність принципу максимуму Гаусдорфа і леми Цорна.

Теорема Цермело

Докладніше: Теорема Цермело

Формулювання теореми Цермело (англ. Well Ordering Principle)

${\mathcal {WO}}.$ Будь-яку множину можна цілком упорядкувати.

{\mathcal {ZL}}_{1}\Rightarrow {\mathcal {WO}}

Нехай $M$ — довільна дана множина. Покажемо, що її можна цілком упорядкувати.

Розглянемо сукупність ${\mathfrak {M}}$ усіх пар $\langle A,\leqslant _{A}\rangle$ , де $A\subseteq M$ , а $\leqslant _{A}$ — відношення повного порядку на $A$ . На множині ${\mathfrak {M}}$ уведемо природне відношення порядку: $\langle B,\leqslant _{B}\rangle$ слідує за $\langle A,\leqslant _{A}\rangle$ , якщо $\langle A,\leqslant _{A}\rangle$ є $\langle B,\leqslant _{B}\rangle$ , тобто якщо $A=\{a\in B:a<b\}$ для деякого $b\in B$ і на множині $A$ відношення $\leqslant _{B}$ збігається з $\leqslant _{A}$ .

Далі доведемо два твердження.

I. В ${\mathfrak {M}}$ існує максимальний елемент. Це випливає із ${\mathcal {ZL}}_{1}$ і того факту, що якщо ${\mathfrak {C}}$ — ланцюг у ${\mathfrak {M}}$ , то об'єднання всіх елементів $C\in {\mathfrak {C}}$ є також елементом ${\mathfrak {M}}$ , який є верхньою гранню ланцюга ${\mathfrak {C}}$ .

II. Якщо $\langle A,\leqslant _{A}\rangle$ — максимальний елемент, то $A=M$ . Якби $M\setminus A$ була непорожньою, то взявши який-небудь елемент $b\in M\setminus A$ , і поклавши $b>a$ для будь-якого $a\in A$ , ми отримали б цілком упорядковану множину $A\cup \{a\}$ , початковим відрізком якої є $A$ . Це суперечить припущенню про максимальність $\langle A,\leqslant _{A}\rangle$ .

Таким чином, ми маємо цілком упорядковану множину $\langle M,\leqslant _{M}\rangle$ . Що й потрібно було довести.

{\mathcal {WO}}\Rightarrow {\mathcal {HM}}_{1}

Нехай $\langle M,\preceq \rangle$ частково впорядкована множина. В силу теореми Цермело множину $M$ можна цілком упорядкувати. Нехай $\leqslant$ — відношення цілкомупорядкування на $M$ .

Визначимо розбиття множини $M$ на дві підмножини $C$ і ${\overline {C}}$ індукцією за цілком упорядкованою множиною $\langle M,\leqslant \rangle$ (такий спосіб також називають ).

Нехай $a\in M$ і всі елементи $b<a$ вже віднесено або до $C$ , або до ${\overline {C}}$ . Віднести $a$ до $C$ , якщо він порівняємо з усіма елементами $C$ ; в іншому випадку віднесемо його до ${\overline {C}}$ .

Проводячи таким чином індуктивну побудову за цілком впорядкованою множиною $\langle M,\leqslant \rangle$ ми отримаємо множини $C$ і ${\overline {C}}$ . Як видно з побудови $C$ — ланцюг в $\langle M,\preceq \rangle$ . Крім того, ясно, що він є максимальним. Таким чином, ми довели принцип максимуму Гаусдорфа.

Аксіома вибору

Докладніше: Аксіома вибору

Формулювання аксіоми вибору:

${\mathcal {AC}}.$ Для кожного сімейства непорожніх множин $\{S_{\alpha }\},\alpha \in A$ існує функція вибору $f$ , тобто $\forall \alpha \;f(\alpha )\in S_{\alpha }$

Достатньо довести еквівалентність ${\mathcal {AC}}$ одному з тверджень ${\mathcal {ZL}},{\mathcal {HM}},{\mathcal {WO}}$ . Однак нижче наведено декілька доведень.

${\mathcal {AC}}\Rightarrow {\mathcal {WO}}$

Див. книгу Гаусдорфа, або Куроша.

${\mathcal {AC}}\Rightarrow {\mathcal {HM}}$

Міркування аналогічне тому, що використовувалося для доведення ${\mathcal {AC}}\Rightarrow {\mathcal {WO}}$ .

Упорядкуємо кожне $\{S_{\alpha }\}$ , і потім визначимо функцію вибору як мінімальний елемент множини:

f(\alpha )=\min S_{\alpha }

${\mathcal {ZL}}\Rightarrow {\mathcal {AC}}$

Див. книгу Куроша.

Джерела

Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — .(рос.)
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)