Скручена подовжена чотирикутна піраміда

Скру́чена подо́вжена чотирику́тна пірамі́да — один із многогранників Джонсона (J₁₀, за Залгаллером — М₂+А₄).

Скручена подовжена чотирикутна піраміда
Тип	многогранник Джонсона
Граней	12 трикутників, 1 квадрат
Ребер	20
Вершин	9
Конфігурація вершин	1(3^4) 4(3^3.4) 4(3^5)
Група симетрії	C4v
Площа поверхні	${\displaystyle S=\left(1+3{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 6{,}1961524a^{2}}$
Об'єм	${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {2}}+2{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1{,}1927022a^{3}}$
опукла
Розгортка

Складена з 13 граней: 12 правильних трикутників та 1 квадрата. Квадратна грань оточена чотирма трикутними; серед трикутних граней 4 оточені однією квадратною та двома трикутними, інші 9 — трьома трикутними.

Має 20 ребер однакової довжини. 4 ребра розташовані між квадратною та трикутною гранями, решта 16 — між двома трикутними.

У скрученої подовженої чотирикутної піраміди 9 вершин. У 4 вершинах (розташованих як вершини квадрата) сходяться квадратна грань і три трикутні; у 4 вершинах (розташованих як вершини іншого квадрата) — п'ять трикутних; у 1 вершині — чотири трикутні.

Скручену подовжену чотирикутну піраміду можна отримати з квадратної піраміди (J₁) і правильної чотирикутної антипризми, всі ребра в яких однакової довжини, приклавши основу піраміди до однієї з основ антипризми.

Метричні характеристики

Якщо скручена подовжена чотирикутна піраміда має ребро довжини ${\displaystyle a}$, її площа поверхні виражається як

${\displaystyle S=\left(1+3{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 6{,}1961524a^{2},}$

а об'єм

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {2}}+2{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1{,}1927022a^{3}.}$

У координатах

Скручену подовжену чотирикутну піраміду з довжиною ребра ${\displaystyle 2}$ можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб її вершини мали координати

• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;{\sqrt {2}}+{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm 1;\;{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {2}};\;0;\;-{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;\pm {\sqrt {2}};\;-{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\right).}$

При цьому вісь симетрії многогранника збігатиметься з віссю Oz, а дві з чотирьох площин симетрії — з площинами xOz та yOz.

Примітки

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — стор. 20.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Скручена подовжена чотирикутна піраміда(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.