Ручний вузол

Ди́кий ву́зол — патологічне вкладення кола в простір.

Приклад дикого вузла

Дикі вузли можна знайти в деяких кельтських візерунках.^[]

Визначення

Вузол називається ручним, якщо він може бути «потовщений», тобто якщо існує його розширення до повного тора S ¹ × D ², який допускає вкладення в 3-сферу. В теорії вузлів і в теорії ^[en] часто слово «ручний» опускають.

Вузли, які не є ручними, називаються дикими і можуть мати патологічний поведінку.

Приклади

Дуга Фокса — Артіна

Дикими є вузли, що містять так звані  — деякі прості дуги, отримані диким вкладенням в ${\displaystyle E^{3}}$. Наприклад, для дуги ${\displaystyle L_{1}}$ фундаментальна група ${\displaystyle p_{1}}$(${\displaystyle E^{3}L}$) нетривіальна, для дуги ${\displaystyle L_{2}}$ група ${\displaystyle {\pi }_{1}(E^{3}/L)}$ тривіальна, але саме ${\displaystyle E^{3}/L}$ не гомеоморфне доповненню в ${\displaystyle E^{3}}$ до точки.

На малюнку наведено дикий вузол з однією дикою (патологічною) точкою. Легко побудувати дикий вузол, що містить кілька патологічних точок, нескінченне число таких точок, і навіть незліченну множину патологічних точок. У книзі Сосинського наведено побудову дикого вузла, патологічні точки якого утворюють множину Кантора.

Можна представити і дикий вузол, що містить більш складну множину — намисто Антуана.

Властивості

• Вузол є ручним тоді і тільки тоді, коли його можна подати у вигляді скінченної ламаної.
• Гладкі вузли є ручними.

Варіації та узагальнення

• Нетривіальні дикі вузли з'являються й у сферах старших розмірностей. Наприклад, за теоремою про подвійну надбудову, подвійна надбудова над сферою Пуанкаре гомеоморфна стандартній сфері ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$. При цьому екватор подвійної надбудови утворює в ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$ дикий вузол і його доповнення має нетривіальну фундаментальну групу.

Див. також

• Дика сфера

Примітки

1. Войцеховский М. И. Дикий узел // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М. : Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 69. — Ствп. 137—138.
2. Сосинский, 2005, с. 22.

Література

• L. H. Kauffman. An invariant of regular isotopy // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1990. — Т. 318, № 2 (20 червня). з джерела 27 вересня 2011. Процитовано 23 вересня 2020.
• А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология одной математической теории. — Москва : МЦНМО, 2005. — .