Простір — топологічний простір, що задовольняє одній з найслабших аксіом відокремлюваності . Іноді простори, що задовольняють цій умові також називаються просторами Фреше, але цей термін також використовується в інших значеннях.
Аксіоми відокремлюваності в топологічних просторах | |
---|---|
T0 | (Колмогорова) |
T1 | (Фреше) |
T2 | (Гаусдорфів) |
T2½ | (Урисонів) |
CT2 | (повністю Гаусдорфів) |
T3 | (регулярний Гаусдорфів) |
(Тихонівський) | |
T4 | (нормальний Гаусдорфів) |
T5 | (повністю нормальний Гаусдорфів) |
T6 | (досконало нормальний Гаусдорфів) |
|
Визначення
Топологічний простір називається простором
, якщо для будь-яких двох різних точок
існує відкрита множина
, така що
але
.
Еквівалентно можна дати інші визначення, які разом дають основні властивості просторів:
- Простір
є простором
тоді і тільки тоді, коли кожна одноточкова підмножина в
є замкнутою.
- Простір
є простором
тоді і тільки тоді, коли кожна його скінченна підмножина є замкнутою.
- Простір
є простором
тоді і тільки тоді, коли кожна його коскінченна підмножина (доповнення до скінченної підмножини) є відкритою.
- Простір
є простором
тоді і тільки тоді, коли кожна його підмножина рівна перетину всіх відкритих підмножин, що її містять.
- Простір
є простором
тоді і тільки тоді, коли для кожної його підмножини S і кожної точки
, x є граничною точкою множини S якщо і тільки якщо довільний відкритий окіл точки x містить нескінченну кількість точок з множини S.
Приклади і властивості
- Більшість типових прикладів топологічних просторів є просторами
і простори, що не є
вважаються "дуже патологічними". Прикладами просторів
є зокрема: простір дійсних чисел із звичайною топологією, евклідові простори і, в більш загальному випадку, метричні простору. Кожен дискретний простір є простором
; навпаки, кожен скінченний простір
є дискретним.
- Кожен гаусдорфів простір є простором
.
- Прикладом простору, що задовольняє аксіому
, але не є гаусдорфовим є множина дійсних чисел з топологією де відкритими множинами є доповнення скінченних множин, а також
і весь простір. Іншими важливими прикладами є топологія Зариського для алгебричних многовидів над алгебрично замкнутим полем, а також (кокомпактна топологія) на множині дійсних чисел.
- Кожен простір
є простором Т0 , проте є простори
, які не є просторами
. Наприклад, множина
з топологією
є простором
, але не
. Іншим таким прикладом є (топологія перекривних інтервалів). Також (спектр кільця) із топологією Зариського є простором
але в загальному випадку не є простором
.
- Підмножина простору
з індукованою топологією є простором
.
- Декартовий добуток просторів
теж є простором
.
Див. також
Література
- Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет